Question

आकृति 6.57 में D त्रिभुज ABC के कर्ण AC पर स्थित एक बिंदु है जबकि $BD \bot AC$ तथा $DM \bot BC$ तथा $DN \bot AB$ है। सिद्ध कीजिए कि
(i) $DM^2 = DN.MC$
(ii) $DN^2 = DM.AN$

Answer 1

1. सर्वप्रथम B और D को मिलाया

दिया है-
$BD \bot AC$ तथा $DM \bot BC$ तथा $DN \bot AB$ है तथा DN || CB, DM || AB
जिसमें DMBN एक आयत है
हम जानते हैं आयत के आमने सामने की भुजाएं बराबर होती है अतः DN = MB , DM = NB

प्रश्न अनुसार = $BD \bot AC$ अतः
हम जानते हैं कि सी रेखा पर डाला गया लंब 90° का होता है
•°• ㄥCDB = 90°
=> ㄥ2 + ㄥ3 = 90°..................(1)

ΔCDM में ,

ㄥ1 + ㄥ2 + ㄥDMC = 180°
=> ㄥ1 + ㄥ2 + 90° = 180°
=> ㄥ1 + ㄥ2. = 90° ....................(2)

ΔDMB में,

ㄥ3 + ㄥ4 + ㄥDMB = 180°
=> ㄥ3 + ㄥ4 = 90° ...................(3)

समीकरण (1) वा (2) से ,
ㄥ1 = ㄥ3

समीकरण (1) वा (3) से ,
ㄥ2 = ㄥ4

ΔDCM और ΔBDM में

ㄥ1 = ㄥ3. ( ऊपर सिद्ध किया गया है )
ㄥ2 = ㄥ4. ( ऊपर सिद्ध किया गया है )

अतः AA समरूपता प्रमेय से

Δ DCM ~ ΔBDM
=> BM/DM = DM/MC
=> DN/DM = DM/MC. (DM= DN)

=> DM ² = DN × MC

2. ΔDBN में ,

ㄥ5 + ㄥ7 = 90° ....................(4)

ΔDAN में,

ㄥ6 + ㄥ8 = 90° ...................(5)

प्रश्न अनुसार $DN \bot AB$

•°• ㄥADB = 90°
=> ㄥ5 + ㄥ6 = 90° ......................(6)

समीकरण ( 4 ) और (6 ) से ,

ㄥ6 = ㄥ7

समीकरण 5 और 8 से ,

ㄥ5 = ㄥ8

ΔDNA और ΔBND में,

ㄥ6 = ㄥ7. ( ऊपर सिद्ध किया गया है )
ㄥ5 = ㄥ8. ( ऊपर सिद्ध किया गया है )

•°•ΔDNA ~ ΔBND

=> AN/DN = DN/NB
=> DN ² = AN × NB
=> DN ² = AN × DM. (NB = DM)