Question

अनुपातों $\frac{a_{1}} {a_{2}}, \frac{b_{1}}{b_{2}}$ और $\frac{c_{1}}{c_{2}}$ की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं या असंगतः
(i) 3x + 2y = 5 ; 2x – 3y = 7
(ii) 2x – 3y = 8 ; 4x – 6y = 9
(iii) $\frac{3}{2}x+\frac{5}{3}y= 7$ ; 9x – 10y = 14
(iv) 5x – 3y = 11 ; – 10x + 6y = –22
(v) $\frac{4}{3}x+2y=8$ ; 2x + 3y = 12

Answer 1

(i) $a_1 = 3, b_1 = 2, c_1 =-5$
$a_2 = 2, b_2 = -3, c_2 = -7$
यहाँ हम पाते हैं कि $\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{a_2}{b_2}$अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म का केवल एक हल होगा तथा दिया गया रैखिक समीकरण युग्म संगत है।

(ii) $a_1 = 2, b_1 = -3, c_1 = -8$
$a_2 = 4, b_2 = -6, c_2 = -9$
यहाँ हम पाते हैं कि $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}$ अत: दिया गये रैखिक समीकरण युग्म का ग्राफ समांतर रेखा होगी तथा समीकरण का कोई हल नहीं होगा, अत: दिया गया रैखिक समीकरण युग्म असंगत है ।

(iii) $a_1 = 3/2, b_1 = 5/3, c_1 = -7$
$a_2 = 9, b_2 = -10, c_2 = -14$
यहाँ हम पाते हैं कि $\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}$अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म का ज्यामितीय निरूपण करने पर रेखा एक दूसरे को एक बिन्दु पर काटेगी अत: समीकरणों का एक अद्वितीय हल होगा, अत: दिया गया रैखिक समीकरण युग्म संगत है ।

(iv) $a_1 = 5, b_1 = -3, c_1 = -11$
$a_2 = -10, b_2 = 6, c_2 = 22$
यहाँ हम पाते हैं कि $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$ अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म के ज्यामितीय निरूपण पर ग्राफ एक संपाती रेखा होगी तथा समीकरणों का अनगिनत कई हल होगा,अत: दिया गया रैखिक समीकरण युग्म संगतहैं। 

(v) $a_1 = 4/3, b_1 = 2, c_1 = -8$
$a_2 = 2, b_2 = 3, c_2 = -12$
यहाँ हम पाते हैं कि $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$ अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म के ज्यामितीय निरूपण पर ग्राफ एक संपाती रेखा होगी तथा समीकरणों का अनगिनत कई हल होगा,अत: दिया गया रैखिक समीकरण युग्म संगत हैं।