अन्तराल [1,3] में 2x^{3} – 24x + 107 का महत्तम मान ज्ञात कीजिए। इसी फलन का अन्तराला [-3,-1] में भी महत्तम मान ज्ञात कीजिए।
Answers
f (x) = 2x3 – 24x + 107, अन्तराल [1, 3] f‘(x) = 6x2 – 24
उच्चतम व निम्नतम मान के लिए, f ‘(x) = 0
⇒ 6x2 – 24 = 0 ⇒ 6x2 = 24
⇒ x2 = 4 ⇒ x = ±2
अन्तराल [1, 3] के लिए f(x) = 2x3 – 24x + 107 में x के मान रखने पर,
x = 1 पर, f(1) = 2(1)3 – 24 (1) + 107
= 2 – 24 + 107 = 85 x = 3 पर, f (3)
= 2(3)3 – 24 (3) + 107 = 54 – 72 + 107
= 89 x = 2 परे, f(2) = 2(2)3 – 24(2) + 107
= 16 – 48 + 107 = 75
इस प्रकार अधिकतम मान f (x) = 89,
x = 3 पर, अन्तराल [-3,-1] के लिए हम
x = – 3, – 2, – 1 पर f(x) का मान ज्ञात करते हैं।
x = – 3 पर, f(-3) = 2(-3)3 – 24 (-3) + 107
x= – 54 + 72 + 107 = – 54 + 179 = 125
x= – 1 पर f(-1) = 2 (-1)3 – 24 (-1) + 107
x= -2 +24 + 107 = 129 x = – 2 पर f(-2)
x= 2(-2)3 – 24 (-2) + 107 = -16 + 48 +107 = 139
इस प्रकार अधिकतम मान f (x) = 139, x = -2 पर।
Given : f(x) = 2x³ - 24x + 107
To find : अन्तराल [1,3] , अन्तराला [-3,-1] में महत्तम मान
Solution:
f(x) = 2x³ - 24x + 107
f'(x) = 6x² - 24
f'(x) = 0
=> 6x² - 24 = 0
=> x² = 4
x = ± 2
अन्तराल [1,3] x = 2
अन्तराला [-3,-1] x = - 2
f'(x) = 6x² - 24
f''(x) = 12x
x = - 2
f''(x) = -24 < 0
=> f(x) का महत्तम मान x = -2
f(-2) = 2(-2)³ - 24(-2) + 107 = 139
अन्तराला [-3,-1] में महत्तम मान = 139
x = 2
f''(x) = 24 > 0
x = 2 महत्तम मान नहीं
अन्तराल [1,3]
f(1) = 2(1)³ - 24(1) + 107 = 85
f(3) = 2(3)³ - 24(3) + 107 = 89
अन्तराल [1,3] में महत्तम मान = 89
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