बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत हैं या असांत आवर्ती हैं :
(i) 13/3125 (ii)17/8 (iii)65\455 (iv)15/1600 (v)29/343
(vi) 23/ 2252 (vii)129\225577 (viii)6/15 (ix)35/50 (x)77/210
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Answer with Step-by-step explanation:
(i) मान लीजिए , x = 13/3125 …..(1)
समी (1) की x = p/q से तुलना कीजिए,
यहां p = 13 और q = 3125
q = 3125 के अभाज्य गुणनखंड = 5⁵ × 2⁰
जोकि 2^m.5^n के रूप का हैं।
∴x = 13/3125 का दशमलव प्रसार सातं है।
(ii) मान लीजिए ,x = 17/8 …..(1)
समी (1) की x = p/q से तुलना कीजिए,
यहां p = 17 और q = 8
q = 8 के अभाज्य गुणनखंड = 2³ × 5⁰
जोकि 2^m.5^n के रूप का हैं।
∴x = 17/8 का दशमलव प्रसार सातं है।
(iii) मान लीजिए ,x = 64/455 ………(1)
समी (1) की x = p/q से तुलना कीजिए,
यहां p = 64 और q =455
q = 455 के अभाज्य गुणनखंड = 5 × 7 × 13
जोकि 2^m.5^n के रूप का नहीं हैं।
∴x = 64/455 का दशमलव प्रसार असातं आवर्ती है।
(iv) मान लीजिए ,x = 15/1600 …………(1)
समी (1) की x = p/q से तुलना कीजिए,
यहां p = 15 और q =1600
q = 1600 के अभाज्य गुणनखंड = 2⁶ × 5²
जोकि 2^m.5^n के रूप का हैं।
∴x = 15/1600 का दशमलव प्रसार सातं है।
(v) मान लीजिए ,x =29/343 ……….(1)
समी (1) की x = p/q से तुलना कीजिए,
यहां p = 29 और q =343
q = 343 के अभाज्य गुणनखंड = 7³
जोकि 2^m.5^n के रूप का नहीं हैं।
∴x = 29/343 का दशमलव प्रसार असातं आवर्ती है।
(vi) मान लीजिए ,x =23/(2³ ×5²).......(1)
समी (1) की x = p/q से तुलना कीजिए,
यहां p = 23 और q = 2³ ×5²
q के अभाज्य गुणनखंड = 2³ ×5²
जोकि 2^m.5^n के रूप का हैं।
∴x = 23/(2³ ×5²) का दशमलव प्रसार सातं है।
(vii) मान लीजिए , x = 29/(2².5⁷.7⁵)...........(1)
समी (1) की x = p/q से तुलना कीजिए,
यहां p = 29 और q = 2².5⁷.7⁵
q के अभाज्य गुणनखंड = 2².5⁷.7⁵
जोकि 2^m.5^n के रूप का नहीं हैं।
∴x = 29/343 का दशमलव प्रसार असातं आवर्ती है।
(viii) मान लीजिए ,x = 6/15 = 2/5……..(1)
समी (1) की x = p/q से तुलना कीजिए,
यहां p = 2 और q =5
q =5 के अभाज्य गुणनखंड = 2⁰ × 5¹
जोकि 2^m.5^n के रूप का हैं।
∴x = 6/15 का दशमलव प्रसार सातं है।
(ix)मान लीजिए ,x =35/50 = 7/10 ………(1)
समी (1) की x = p/q से तुलना कीजिए,
यहां p = 7 और q =10
q = 10 के अभाज्य गुणनखंड = 2¹ × 5¹
जोकि 2^m.5^n के रूप का हैं।
∴x = 35/10 का दशमलव प्रसार सातं है।
(x) मान लीजिए ,x =77/210 = 11/30 ……….(1)
समी (1) की x = p/q से तुलना कीजिए,
यहां p = 11 और q =30
q = 30 के अभाज्य गुणनखंड = 2¹ × 3¹ × 5¹
जोकि 2^m.5^n के रूप का नहीं हैं।
∴ x = 77/210 का दशमलव प्रसार असातं आवर्ती है।
★★ मान लीजिए x = p/q एक परिमेय संख्या (Rational number) इस प्रकार है कि q के अभाज्य गुणनखंड 2^m.5^n के रूप के है , यहाँ n और m ऋणेतर पूर्णांक हैं तो x का दशमलव प्रसार सांत होता है।
आशा है कि यह उत्तर आपकी अवश्य मदद करेगा।।।।
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