निम्न द्विघात बहुपदों के शुन्यक ज्ञात कीजिए और शुन्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए |
(i) x2 – 2x – 8 (ii) 4s2 – 4s + 1 (iii) 6x2 – 3 – 7x
(iv) 4u2 + 8u (v) t2 – 15 (vi) 3x2 – x – 4
Answers
Answer with Step-by-step explanation:
(i) दी गई द्विद्घात बहुपद है : x² - 2x - 8
= x² - 4x + 2x - 8
= x(x - 4) + 2(x - 4)
= (x - 4)(x + 2)
अतः बहुपद x² - 2x - 8 का मान शून्य है यदि x = 4 या -2 हैं।
x² - 2x - 8 के शून्याक 4 औउ -2 हैं
अब ,शून्याकों का योगफल = - x का गुणांक/x² का गुणांक
शून्याकों का योग = 4 - 2 = 2
- x का गुणांक/x² का गुणांक = -(-2)/1 = 2
LHS = RHS
शून्याकों का गुणनफल = अचर पद/x² का गुंणाक
शून्याकों का गुणनफल = 4 × -2 = -8
अचर पद/x² का गुंणाक = -8/1 = -8
LHS = RHS
अतः, शून्याकों तथा गुंणाकों के बीच के संबंध का सत्यापन किया जाता है
(ii) दी गई द्विद्घात बहुपद है : 4s² - 4s + 1
= 4s² - 2s - 2s + 1
= 2s(2s - 1) - 1(2s - 1)
= (2s - 1)(2s - 1)
अतः बहुपद 4s² - 4s + 1 का मान शून्य है जब s = 1/2, 1/2 हैं।
अब , शून्याकों का योगफल = - s का गुणांक/s² का गुणांक
शून्याकों का योगफल = -(-4)/4 = 1
- s का गुणांक/s² का गुणांक = (1/2)/(1/2) = 1
LHS = RHS
शून्याकों का गुणनफल = अचर पद/s² का गुंणाक
शून्याकों का गुणनफल = 1/2 × 1/2 = 1/4
अचर पद/s² का गुंणाक = 1/4
LHS = RHS
अतः, शून्याकों तथा गुंणाकों के बीच के संबंध का सत्यापन किया जाता है
(iii) दी गई द्विद्घात बहुपद है : 6x² - 3 - 7x
= 6x² - 7x - 3
= 6x² - 9x + 2x - 3
= 3x(2x - 3) + 1(2x - 3)
= (3x + 1)(2x - 3)
अतः बहुपद 6x² - 3 - 7x का मान शून्य है जब x = -1/3 , 3/2 हैं।
अब , शून्याकों का योगफल = - x का गुणांक/x² का गुणांक
शून्याकों का योगफल= -1/3 + 3/2 = 7/6
- x का गुणांक/x² का गुणांक = -(-7)/6 = 7/6
LHS = RHS
शून्याकों का गुणनफल = अचर पद/x² का गुंणाक
शून्याकों का गुणनफल = -1/3 × 3/2 = -1/2
अचर पद/x² का गुंणाक = -3/6 = -1/2
LHS = RHS
अतः, शून्याकों तथा गुंणाकों के बीच के संबंध का सत्यापन किया जाता है
(iv)दी गई द्विद्घात बहुपद है : 4u² + 8u
= 4u(u + 2)
अतः बहुपद 4u² + 8u का मान शून्य है जब u = 0, -2 हैं।
शून्याकों का योगफल = - u का गुणांक/u² का गुणांक
शून्याकों का योगफल= 0 - 2 = -2
- u का गुणांक/u² का गुणांक = -(8)/4 = -2
LHS = RHS
शून्याकों का गुणनफल = अचर पद/u² का गुंणाक
शून्याकों का गुणनफल = 0 × -2 = 0
अचर पद/u² का गुंणाक = 0/4 = 0
LHS = RHS
अतः, शून्याकों तथा गुंणाकों के बीच के संबंध का सत्यापन किया जाता है
(v) दी गई द्विद्घात बहुपद है : t² - 15
= (t - √15)(t + √15)
अतः बहुपद t² - 15 का मान शून्य है जब t = ±√15 हैं।
शून्याकों का योगफल = - t का गुणांक/t² का गुणांक
शून्याकों का योगफल = -√15 + √15 = 0
- t का गुणांक/t² का गुणांक = 0/1 = 0
LHS = RHS
शून्याकों का गुणनफल = अचर पद/t² का गुंणाक
शून्याकों का गुणनफल = -√15 × √15 = -15
अचर पद/t² का गुंणाक = -15/1 = -15
LHS = RHS
अतः, शून्याकों तथा गुंणाकों के बीच के संबंध का सत्यापन किया जाता है
(vi) दी गई द्विद्घात बहुपद है : 3x² - x - 4
= 3x² + 3x - 4x - 4
= 3x(x + 1) - 4(x + 1)
= (3x - 4)(x + 1)
अतः बहुपद 3x² - x - 4 का मान शून्य है जब x = 4/3, -1 हैं।
शून्याकों का योगफल = - x का गुणांक/x² का गुणांक
शून्याकों का योगफल = 4/3 -1 = 1/3
- x का गुणांक/x² का गुणांक = -(-1)/3 = 1/3
LHS = RHS
शून्याकों का गुणनफल = अचर पद/x² का गुंणाक
शून्याकों का गुणनफल = 4/3 × -1 = -4/3
अचर पद/x² का गुंणाक = -4/3
LHS = RHS
अतः, शून्याकों तथा गुंणाकों के बीच के संबंध का सत्यापन किया जाता है
आशा है कि यह उत्तर आपकी अवश्य मदद करेगा।।।।
इस पाठ से संबंधित कुछ और प्रश्न :
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शुन्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमश: दी गई संख्याएँ हैं;
1. 1/4, -1 2. √2, 1/3 3. 0, 1/5 4.1,1
5. -1/4,1/4 6. 4,1
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विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके, निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए :
(i) p(x)=x3 -3x3+5x-3, g(x)=x2 - 2
(ii) p(x)=x4-3x2+4x+5, g(x)x2+ 1-x
(iii) p(x)=x4-5x+6, g(x) = 2 - x2
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