Question

CD और GH क्रमशः $\angle ACB$ और $\angle EGF$ के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और H क्रमश: $\bigtriangleup ACB$ और $\bigtriangleup EFG$ की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं।यदि $\bigtriangleup ACB \sim \bigtriangleup FEG$ है, तो दर्शाइए किः
(i) $\frac{CD}{GH} = \frac{AC}{FG}$
(ii) $\bigtriangleup DCB \sim \bigtriangleup HGE$
(iii) $\bigtriangleup DCA \sim \bigtriangleup HGF$

Answer 1

माना कि प्रश्न में दिया गया त्रिभुज ABC तथा त्रिभुज FEG है , जहाँ CD रेखा ∠BCA को समद्विभाजित करती है, तथा GH रेखा ∠EGF को समद्विभाजित करती है।

दिया गया है, $\bigtriangleup ACB \sim \bigtriangleup FEG$

(i) CD/GH=AC/FG


∆ABC तथा ∆FEG से,

चूँकि $\bigtriangleup ACB \sim \bigtriangleup FEG$

अत: ∠A = ∠F, ∠B=∠E तथा ∠ACB=∠FGE

अत: ∠ACD=∠FGH [कोण समद्विभाजक] -------(i)

तथा ∠DCB=∠HGE [कोण समद्विभाजक] ----(ii)

अब, त्रिभुज ACD तथा त्रिभुज FGH में,

∠A=∠F तथा ∠ACD=∠FGH

अत: A-A (कोण-कोण) कसौटी के आधार पर,

$\Delta{ACD}\sim\Delta{FGH}$

अत: CD/GH=AC/FG


(ii) $\bigtriangleup DCB \sim \bigtriangleup HGE$

दिया गया है, $\bigtriangleup ACB \sim \bigtriangleup FEG$

अत: ∠B=∠E तथा, ∠DCB=∠HGE [समीकरण (i) से चूँकि कोण समद्विभाजक हैं।]

अत: AA (कोण-कोण) कसौटी के आधार पर,

$\Delta{DCB}\sim\Delta{HGE}$ 

(iii) $\bigtriangleup DCA \sim \bigtriangleup HGF$

दिया गया है, $\bigtriangleup ACB \sim \bigtriangleup FEG$


अत: ∠A=∠F तथा, ∠ACD=∠FGH [समीकरण (i) से चूँकि कोण समद्विभाजक हैं।]

अत: AA (कोण-कोण) कसौटी के आधार पर,

$\Delta{DCA}\sim\Delta{HGF}$.