Question

एक A.P. में,
(i) a = 5, d = 3 और $x_{n}$ = 50 दिया है। n और $S_{n}$ ज्ञात कीजिए।
(ii) a = 7और $a_{13} = 35$ दिया है। d और $S_{13}$ ज्ञात कीजिए।
(iii) $a_{12}$ = 37 और d = 3 दिया है। a और $S_{12}$ ज्ञात कीजिए।
(iv) $a_{3} = 15$ और $S_{10} = 125$ दिया है। d और $a_{10}$ ज्ञात कीजिए।
(v) d = 5 और $S_{9} = 75$ दिया है। a और $a_{9}$ ज्ञात कीजिए।
(vi) a = 2, d = 8 और $S_{n} = 90$ दिया है। n और $a_{n}$ ज्ञात कीजिए।
(vii) a = 8, $a_{n}$ = 62और $S_{n}$ = 210दिया है। n और d ज्ञात कीजिए।
(viii) $a_{n}$ = 4, d = 2 और $S_{n}$ = द-14 दिया है। n और a ज्ञात कीजिए।
(ix) a = 3, n = 8 और S = 192 दिया है। a ज्ञात कीजिए।
(x) l = 28, S = 144 और कुल 9 पद हैं। a ज्ञात कीजिए।

Answer 1

(i) a = 5, d = 3 और $a_{n}$ = 50 दिया है। n और $S_{n}$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पद ज्ञात करने का सूत्र इस्तेमाल करके हम कुल पदों की संख्या निकाल सकते हैं

$a_{n} = a + (n - 1)d \\ \\ 50 = 5 + (n - 1)3 \\ \\ n - 1 = \frac{45}{5} \\ \\ n = 16$

सभी पदों का योग ज्ञात करने के लिए हम n पदों का योग ज्ञात करने का सूत्र लगाएंगे

$S_{n} = \frac{n}{2} (2a + (n - 1)d) \\ \\ = \frac{16}{2} (10 + 15 \times 3) \\ \\ = 8(55) \\ \\ S_{n} = 440$
(ii) a = 7और $a_{13} = 35$ दिया है। d और $S_{13}$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर:
$a_{13} = 35 \\ \\ 35 = 7 + 12d \\ \\ 12d = 35 - 7 \\ \\ 12d = 28 \\ \\ d = \frac{7}{3}$
$S_{13} = \frac{13}{2} (14 + 12 \times \frac{7}{3} ) \\ \\ = \frac{13}{2} (14 + 28) \\ \\ = 13 \times 21 \\ \\ S_{13} = 273$

(iii) $a_{12}$ = 37 और d = 3 दिया है। a और $S_{12}$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

$d = 3 \\ \\ a_{12} = 37 \\ \\ 37 = a + 11 \times 3 \\ \\ a + 33 = 37 \\ \\ a = 4$
$S_{12} = \frac{12}{2} (8 + 11 \times 3) \\ \\ = 6(41) \\ \\ S_{12} = 246$

(iv) $a_{3} = 15$ और $S_{10} = 125$ दिया है। d और $a_{10}$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

$a_{3} = 15 \\ \\ 15 = a + 2d ...eq1\\ \\ S_{10} = 125 \\ \\ 125 = 5(2a + 9d) \\ \\ 2a + 9d = 25...eq2 \\ 2a + 4d = 30 \\ - \: \: \: \: \: - \: \: \: \: - \\ 5d = - 5 \\ \\ d = - 1 \\ \\ a + 2( - 1) = 15 \\ \\ a = 17$
$a_{10} = a + 9d \\ \\ = 17 + 9( - 1) \\ \\ = 8$

(v) d = 5 और $S_{9} = 75$ दिया है। a और $a_{9}$ ज्ञात कीजिए।

$S_{9} = 75 \\ \\ 75 = \frac{9}{2} (2a + 8 \times 5) \\ \\ 150 = 9(2a + 40) \\ \\ \frac{150}{9} = 2a + 40 \\ \\ 2a = \frac{50}{3} - 40 \\ \\ 2a = \frac{50 - 120}{3} \\ \\ a = \frac{ - 35}{3}$
$a_{9} = a + 8d \\ \\ = \frac{ - 35}{3} + 40 \\ \\ = \frac{ - 35 + 120}{3} \\ \\ = \frac{85}{3}$

(vi) a = 2, d = 8 और $S_{n} = 90$ दिया है। n और $a_{n}$ ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
$S_{n} = 90\\\\90 = \frac{n}{2} (4 + (n-1) \times 8)\\8 n^{2}-4n-180=0\\\\2 n^{2}-n-45=0$

इसको हल करने पर हमें mk2 मान मिलेंगे जिसमें से नकारात्मक मान को हम छोड़ देंगे

n = 5
$a_{5} = a + 4d \\ \\=2+4(8)\\\\a_{5}= 34$

(vii) a = 8, $a_{n}$ = 62और $S_{n}$ = 210दिया है। n और d ज्ञात कीजिए।

उत्तर:$a_{n}= 62 \\\\62 = 8+(n-1)d\\\\nd-d=54...eq1$

$S_{n} = 210\\\\ 210=\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)\\\\210=\frac{n}{2}(16+(n-1)d)...eq2\\\\ n = 6$
समीकरण एक वह 2 को हल करने पर n = 6

nd-d=54
6d-d = 54
5d = 54

d = 54/5