Question

f(x) = 4x + 3 द्वारा प्रदत्त फलन f: R → R पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि f
व्युत्क्ररणीय है। f का प्रतिलोम फलन ज्ञात कीजिए।

Answer 1

Given : f(x) = 4x + 3 द्वारा प्रदत्त फलन f: R → R

To find :   सिद्ध कीजिए कि   फलन व्युत्क्ररणीय है  है   ,  प्रतिलोम फलन ज्ञात कीजिए।

Solution :

फलन व्युत्क्ररणीय है  है   ( फलन के प्रतिलोम हैं )  यदि  फलन  एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective)

R → R

f(x) = 4x + 3

f(x₁) = 4x₁ + 3

 f(x₂) = 4x₂ + 3

f(x₁) =   f(x₂)

=>  4x₁ + 3  =4x₂ + 3

=>4x₁  = 4x₂

=> x₁  =  x₂

प्रत्येक x₁  , x₂ ∈ X के लिए f(x₁) = f(x₂) का तात्पर्य  है की   x₁  =  x₂

=> फलन एकैकी    , एकैक (Injective)   है

f(x)  = y    

4x + 3 = y

=> 4x = y  - 3

=> x = (y - 3)/4

f(x)  = 4x + 3

=  4((y - 3)/4) + 3

= y - 3 + 3

= y

= y

=> प्रत्येक y  ∈ Y के लिए

X     में एक ऐसे अवयव का अस्तित्व है की  f(x) = y

=> फलन आच्छादी (Surjective) है

 फलन  एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective)  है

=>फलन  व्युत्क्ररणीय है

x = (y - 3)/4

प्रतिलोम फलन f⁻¹(y) = (y - 3)/4

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Answer 2

Step-by-step explanation:

फलन f : R → R निम्न द्वारा परिभाषित है

f(x) = 4x + 3

यदि f(x1) = f(x2)

⇒ 4x1+ 3 = 4x2 + 3

⇒ x1 = x2

∴ f एकैक है।

तथा माना f(x) = y = 4x + 3

⇒ 4x = y – 3

⇒ x =

$\frac{y-3}{4} \:$

सहप्रान्त (Co – domain) प्रत्येक अवयव yE R का प्रान्त (do main) में पूर्व प्रतिबिम्ब (pre image) है।

∴ f आच्छादक (onto) है

अतः f एकैक और आच्छादक है।

अत: f व्युत्क्रमणीय है।

∴ f का प्रतिलोम फलन