f(x) = x² +4 द्वारा प्रदत्त फलन f: R₊ → [4, [infinity]) पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि f
व्युत्क्रमणीय है तथा f का प्रतिलोम f⁻¹ , f⁻¹ (y) = √(y - 4), द्वारा प्राप्त होता है, जहाँ R₊
सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।
Answers
Given : f(x) = x² +4 द्वारा प्रदत्त फलन f: R → [ 4 , ∞ )
To find : सिद्ध कीजिए कि फलन व्युत्क्ररणीय है है , प्रतिलोम फलन ज्ञात कीजिए।
Solution :
फलन व्युत्क्ररणीय है है ( फलन के प्रतिलोम हैं ) यदि फलन एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective)
R → [ 4 , ∞ )
f(x) = x² +4
f(x₁) = x₁² + 4
f(x₂) = x₂² + 4
f(x₁) = f(x₂)
=> x₁² + 4 = x₂² + 4
=> x₁² = x₂²
=> x₁ = ±x₂
x₁ , x₂ ≥ 4
=> x₁ = x₂
प्रत्येक x₁ , x₂ ∈ X के लिए f(x₁) = f(x₂) का तात्पर्य है की x₁ = x₂
=> फलन एकैकी , एकैक (Injective) है
f(x) = y
x² +4 = y
=>x² = y - 4
=> x = ±√(y - 4)
y - 4 ≥ 0 , R → [ 4 , ∞ )
=> x = √(y - 4)
f(x) = x² + 4
= (√(y - 4))² + 4
= y - 4 + 4
= y
=> प्रत्येक y ∈ Y के लिए
X में एक ऐसे अवयव का अस्तित्व है की f(x) = y
=> फलन आच्छादी (Surjective) है
फलन एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) है
=>फलन व्युत्क्ररणीय है
x = √(y - 4)
प्रतिलोम फलन f⁻¹(y) = √(y - 4)
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