Question

सिद्ध कीजिए कि f: [-1, 1] → R, f(x) = x / (x+2) द्वारा प्रदत्त फलन एकेकी है। फलन
f : [-1, 1] → (f का परिसर), का प्रतिलोम फलन ज्ञात कीजिए।
(संकेत y ∈ परिसर f, के लिए, [-1, 1] के किसी x के अंतर्गत y = f(x)= x /(x+ 2) , अर्थात्‌
x = 2y / (1-y) )

Answer 1

Given : f: [-1, 1] → R, f(x) = x / (x+2)

To find :   सिद्ध कीजिए कि   फलन एकेकी है   ,  प्रतिलोम फलन ज्ञात कीजिए।

Solution :

फलन के प्रतिलोम हैं   यदि  फलन  एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective)

f: [-1, 1] → R

f(x) = x / (x+2)

f(x₁) = x₁ / (x₁+2)

 f(x₂) = x₂ / (x₂+2)

f(x₁) =   f(x₂)

=>  x₁ / (x₁+2) = x₂ / (x₂+2)

=> x₁ x₂  + 2 x₁  = x₂ x₁ + 2x₂

=> 2 x₁  = 2x₂

=> x₁  =  x₂

प्रत्येक x₁  , x₂ ∈ X के लिए f(x₁) = f(x₂) का तात्पर्य  है की   x₁  =  x₂

=> फलन एकैकी    , एकैक (Injective)   है

f(x)  = y    

x/(x + 2) = y

=> x = xy + 2y

=> x(1 - y)  = 2y

=> x = 2y/(1 - y)

f(x)  = x/(x + 2)

= (2y/(1 - y))/(2y/(1 - y)  + 2)

= (2y / ( 2y + 2 - 2y)

= 2y/2

= y

=> प्रत्येक y  ∈ Y के लिए

X     में एक ऐसे अवयव का अस्तित्व है की  f(x) = y

=> फलन आच्छादी (Surjective) है

x = 2y/(1 - y)

प्रतिलोम फलन f⁻¹(y) = 2y/(1 - y)    y ≠ 1

और सीखें :

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सिद्ध कीजिए कि   (f + g) oh = foh + goh

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Answer 2

Step-by-step explanation:

माना y = f(x)

$\begin{lgathered}y=\dfrac{x}{x+2} \\\\xy+2y=x\\\\x(y-1)=-2y\\\\x=\dfrac{2y}{y-1} =\dfrac{2y}{1-y} ......(i)\end{lgathered}$

x वास्तविक है इसीलिए 1 - y ≠ 0, i.e. y ≠ 1

$∴ R_f=R-(1) \:$

$माना x_1,x_2x \:$

$∈ D_f \:$

इस प्रकार है कि

$f(x_1)=f(x_2) \:$

$⇒ \begin{lgathered}\dfrac{x_1}{x_1+2} =\dfrac{x_2}{x_2+2}\\\\x_1(x_2+2)=x_2(x_1+2)\\\\2x_1=2x_2=>x_1=x_2\\\end{lgathered} \:$

∴ f एकैकी है।

$अतः f^{-1}:R_f\rightarrow D_f \:$

विद्यमान है।

$f^{-1} \:$

माना y = f(x)

$\begin{lgathered}y=\dfrac{x}{x+2}\\ \\x=\dfrac{2y}{1-y}\\ \\f^{-1}(y)=\dfrac{2y}{1-y} ( y=f(x)+>x=f^{-1}(y))\\\\f^{-1}(x)=\dfrac{2x}{1-x} \\\\\end{lgathered} </p><p> \:$

$∀ x ∈ D_{f^{-1}}=R_f \:$