Math, asked by paultseringpt4768, 9 months ago

f(x) = 9x² + 6x - 5 द्वारा प्रदत्त फलन f: R₊ → [ -5, [infinity]) पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए
कि f व्युत्क्रणीय है तथा f⁻¹(y) =((√(y+6 )-1) / 3 है |

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Answered by amitnrw
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Given : f(x) =  9x² + 6x - 5   द्वारा प्रदत्त फलन f: R → [ -5 , ∞ )

To find :   सिद्ध कीजिए कि   फलन व्युत्क्ररणीय है  है   ,  प्रतिलोम फलन ज्ञात कीजिए।

Solution :

फलन व्युत्क्ररणीय है  है   ( फलन के प्रतिलोम हैं )  यदि  फलन  एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective)

R →  [ -5 , ∞ )

f(x) = 9x² + 6x - 5

f(x₁) = 9 x₁² + 6 x₁ - 5

 f(x₂) =  9 x₂² + 6 x₂ - 5

f(x₁) =   f(x₂)

=>  x₁² + 4  = x₂² + 4

=>  9 x₁² + 6 x₁ - 5   = 9 x₂² + 6 x₂ - 5

=>     9 x₁² - 9 x₂² +  6 x₁ - 6 x₂ = 0

=> 9 ( x₁ + x₂)( x₁ - x₂)  + 6( x₁ - x₂)  = 0

=> 3( x₁ + x₂)( x₁ - x₂)  + 2( x₁ - x₂)  = 0

=> ( x₁ - x₂)  ( 3( x₁ + x₂) + 2) = 0

=> x₁ - x₂ = 0

=> x₁  =  x₂    

प्रत्येक x₁  , x₂ ∈ X के लिए f(x₁) = f(x₂) का तात्पर्य  है की   x₁  =  x₂

=> फलन एकैकी    , एकैक (Injective)   है

f(x)  = 9x² + 6x - 5

9x² + 6x - 5   = y

=> 9x²   + 6x - (5 + y) = 0

x = (-6 ±  √36 + 180 + 36y)/18

=> x =  (-6 ±  6√6 +  y)/18

=> x =  (-1 ±   √6 +  y)/3

=> x = (- 1 + √6 +  y)/3    x  + ve

y = f(x)

=> f(x) = 9x² + 6x - 5

=> f(x)  = 9 ( (- 1 + √6 +  y)/3 )² + 6( (- 1 + √6 +  y)/3 ) - 5

=>f(x)  = y

=> प्रत्येक y  ∈ Y के लिए

X     में एक ऐसे अवयव का अस्तित्व है की  f(x) = y

=> फलन आच्छादी (Surjective) है

 फलन  एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective)  है

=>फलन  व्युत्क्ररणीय है

x =  (- 1 + √6 +  y)/3  

प्रतिलोम फलन f⁻¹(y) =  (√(y +  6)   - 1) /3

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