f(x) = 9x² + 6x - 5 द्वारा प्रदत्त फलन f: R₊ → [ -5, [infinity]) पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए
कि f व्युत्क्रणीय है तथा f⁻¹(y) =((√(y+6 )-1) / 3 है |
Answers
Given : f(x) = 9x² + 6x - 5 द्वारा प्रदत्त फलन f: R → [ -5 , ∞ )
To find : सिद्ध कीजिए कि फलन व्युत्क्ररणीय है है , प्रतिलोम फलन ज्ञात कीजिए।
Solution :
फलन व्युत्क्ररणीय है है ( फलन के प्रतिलोम हैं ) यदि फलन एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective)
R → [ -5 , ∞ )
f(x) = 9x² + 6x - 5
f(x₁) = 9 x₁² + 6 x₁ - 5
f(x₂) = 9 x₂² + 6 x₂ - 5
f(x₁) = f(x₂)
=> x₁² + 4 = x₂² + 4
=> 9 x₁² + 6 x₁ - 5 = 9 x₂² + 6 x₂ - 5
=> 9 x₁² - 9 x₂² + 6 x₁ - 6 x₂ = 0
=> 9 ( x₁ + x₂)( x₁ - x₂) + 6( x₁ - x₂) = 0
=> 3( x₁ + x₂)( x₁ - x₂) + 2( x₁ - x₂) = 0
=> ( x₁ - x₂) ( 3( x₁ + x₂) + 2) = 0
=> x₁ - x₂ = 0
=> x₁ = x₂
प्रत्येक x₁ , x₂ ∈ X के लिए f(x₁) = f(x₂) का तात्पर्य है की x₁ = x₂
=> फलन एकैकी , एकैक (Injective) है
f(x) = 9x² + 6x - 5
9x² + 6x - 5 = y
=> 9x² + 6x - (5 + y) = 0
x = (-6 ± √36 + 180 + 36y)/18
=> x = (-6 ± 6√6 + y)/18
=> x = (-1 ± √6 + y)/3
=> x = (- 1 + √6 + y)/3 x + ve
y = f(x)
=> f(x) = 9x² + 6x - 5
=> f(x) = 9 ( (- 1 + √6 + y)/3 )² + 6( (- 1 + √6 + y)/3 ) - 5
=>f(x) = y
=> प्रत्येक y ∈ Y के लिए
X में एक ऐसे अवयव का अस्तित्व है की f(x) = y
=> फलन आच्छादी (Surjective) है
फलन एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) है
=>फलन व्युत्क्ररणीय है
x = (- 1 + √6 + y)/3
प्रतिलोम फलन f⁻¹(y) = (√(y + 6) - 1) /3
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