Question

Find the value of : sin10sin50sin70sin60

Answer 1

Use the identities,

$\sin (90^o-\theta)=\cos \theta$.

$\sin 2\theta=2\sin \theta \cos \theta$

Usin the above identity,

$\sin 10^o=\cos 80^o\\ \sin 50^o=\cos 40^o\\ \sin 70^o=\cos 20^o$

Now,

$\sin 10^o \sin 50^o \sin 70^o \sin 60^o=\cos 80^o\cos 40^o\cos 20^o \sin 60^o\\ \sin 10^o \sin 50^o \sin 70^o \sin 60^o=\frac{1}{2\sin 20^o}\cos 80^o\cos 40^o(2\sin 20^o\cos 20^o) \sin 60^o \\ \sin 10^o \sin 50^o \sin 70^o \sin 60^o=\frac{1}{2\sin 20^o}\cos 80^o\cos 40^o \sin 40^o \sin 60^o$

$\sin 10^o \sin 50^o \sin 70^o \sin 60^o=\frac{1}{8\sin 20^o}\cos 80^o(2\cos 40^o \sin 40^o) \sin 60^o \\ \sin 10^o \sin 50^o \sin 70^o \sin 60^o=\frac{1}{8\sin 20^o}\cos 80^o \sin 80^o\sin 60^o \\ \sin 10^o \sin 50^o \sin 70^o \sin 60^o=\frac{1}{16\sin 20^o}2\cos 80^o \sin 80^o\sin 60^o \\ \sin 10^o \sin 50^o \sin 70^o \sin 60^o=\frac{1}{16\sin 20^o}\sin 160^o\sin 60^o$

$\sin 10^o \sin 50^o \sin 70^o \sin 60^o=\frac{1}{16\sin 20^o}\sin 20^o\sin 60^o \\ \sin 10^o \sin 50^o \sin 70^o \sin 60^o=\frac{1}{16}\sin 60^o \\ \sin 10^o \sin 50^o \sin 70^o \sin 60^o=\frac{1}{16}(\frac{\sqrt{3}}{2})\\ \sin 10^o \sin 50^o \sin 70^o \sin 60^o=\frac{\sqrt{3}}{32}$