(i) a और b के किन मानों के लिए, रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
2x + 3y = 7
(a - b)x + ( a + b)y = 3a + b - 2
(ii) kके किस मान के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है ?
3x + y = 1
( 2k - 1)x + (k - 1)y = 2k + 1
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Answer:
(i) दिया है :
2x + 3y –7 = 0
(a – b)x + (a + b)y – (3a + b –2) = 0
दी गई रैखिक समीकरण युग्म से a1x + b1y + c1 = 0 & a2x + b2y + c2 = 0 की तुलना करने पर ,
a1 = 2 ,b1 = 3 , c1 = - 7
a2 = (a -b) , b2 = (a + b) , c2 = - (3a + b -2)
a1 /a2 = 2/(a – b) ; b1 /b2 = – 7/(a + b) ; c1 /c2 = – 7/–(3a + b – 2) = 7/(3a + b – 2)
अपरिमित रूप से अनेक हल के लिए ,a1 /a2 = b1 /b2 = c1 /c2
अब, 2/(a – b) = 7/(3a + b – 2)
2(3a + b – 2) = 7(a - b)
6a + 2b – 4 = 7a – 7b
6a - 7a + 2b + 7b = 4
-a + 9b = 4
a – 9b = – 4 ………. (1)
2/(a – b) = 3/(a + b)
2(a + b) = 3(a - b)
2a + 2b = 3a – 3b
2a - 3a + 2b + 3b = 0
-a + 5b = 0 ………... (2)
समीकरण (i) तथा समीकरण (ii) को जोड़ने पर ,
a – 9b +( -a) + 5b = 0 - 4
a – 9b -a + 5b = - 4
-9b + 5b = - 4
- 4b = - 4
b = 4/4
b = 1
अब b का मान समीकरण (2) में रखने पर,
-a + 5b = 0
a – 5 × 1 = 0
a - 5 = 0
a = 5
अतः, a = 5 और b = 1 मान के लिए दिये गये रैखिक समीकरण युग्म का अपरिमित रूप से अनेक हल होगें।
(ii) दिया है :
3x + y –1 = 0
(2k –1)x + (k –1)y – (2k + 1) = 0
दी गई रैखिक समीकरण युग्म से a1x + b1y + c1 = 0 & a2x + b2y + c2 = 0 की तुलना करने पर ,
a1 = 3 ,b1 = 1 , c1 = - 1
a2 = (2k - 1) , b2 = (k - 1) , c2 = (2k +1)
यहां,
a1 /a2 = 3/(2k – 1)
तथा b1 /b2 = 1/(k – 1)
तथा c1 /c2 = – 1/(–2k – 1) = 1/(2k + 1)
रैखिक समीकरण युग्म को कोई हल नहीं होता है, जब,
a1 /a2 = b1 /b2 ≠ c1 /c2
3/(2k – 1) = 1/(k – 1) ≠ 1/(2k + 1)
3/(2k – 1) = 1/(k – 1)
3(k - 1) = 2k - 1
3k – 3 = 2k – 1
3k - 2k = - 1 + 3
k = 2
अतः, k = 2 के लिए दिये गये रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं होगा
आशा है कि यह उत्तर आपकी अवश्य मदद करेगा।।।।
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निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मो में से किसका एक अद्दितीय हल है, किसका कोई हल नहीं हा या किसके अपरिमित रूप से अनेक हल है | अद्दितीय हल की स्थिति में, उसे ब्रज - गुणन विधि से ज्ञात कीजिए |
(i) x - 3y = 0
3x - 9y - 2 = 0
(ii) 2x + y = 5
3x + 2y = 8
(iii) 3x - 5y = 20
6 x - 10y = 40
(iv) x - 3y - 7 = 0
3x - 3y - 15 = 0
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