Question

if a,b,c are angles in a triangle, then prove that cosA+cosB-cosC = -1+4 cos A/2 cos B/2 sin C/2​

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\textsf{A,B,C are angles of a triangle}$

$\underline{\textbf{To prove:}}$

$\mathsf{cosA+cosB-cosC=-1+4\,cos\dfrac{A}{2}\,cos\dfrac{B}{2}\,sin\dfrac{C}{2}}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\underline{\textbf{Formula used:}}$

$\mathsf{1.\;cosA=1-2\,sin^2\dfrac{A}{2}}$

$\mathsf{2.\;cosC+cosD=2\,cos\left(\dfrac{C+D}{2}\right)\;cos\left(\dfrac{C-D}{2}\right)}$

$\mathsf{3.\;cos(A-B)+cos(A+B)=2\;cosA\;cosB}$

$\textsf{Here, A,B,C are angles of a triangle}$

$\mathsf{A+B+C=180^\circ}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{cosA+cosB-cosC}$

$\textsf{Using formula (1) and (2), we get}$

$\mathsf{=2\,cos\left(\dfrac{A+B}{2}\right)\;cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right)-\left(1-2\,sin^2\dfrac{C}{2}\right)}$

$\mathsf{=2\,cos\left(\dfrac{180^\circ-C}{2}\right)\;cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right)-1+2\,sin^2\dfrac{C}{2}}$

$\mathsf{=2\,cos\left(90^\circ-\dfrac{C}{2}\right)\;cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right)+2\,sin^2\dfrac{C}{2}-1}$

$\mathsf{=2\,sin\dfrac{C}{2}\;cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right)+2\,sin^2\dfrac{C}{2}-1}$

$\mathsf{=2\,sin\dfrac{C}{2}\left[cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right)+sin\dfrac{C}{2}\right]-1}$

$\mathsf{=2\,sin\dfrac{C}{2}\left[cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right)+sin\left(\dfrac{180^\circ-(A+B)}{2}\right)\right]-1}$

$\mathsf{=2\,sin\dfrac{C}{2}\left[cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right)+sin\left(90^\circ-\dfrac{A+B}{2}\right)\right]-1}$

$\mathsf{=2\,sin\dfrac{C}{2}\left[cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right)+cos\left(\dfrac{A+B}{2}\right)\right]-1}$

$\mathsf{=2\,sin\dfrac{C}{2}\left[cos\left(\dfrac{A+B}{2}\right)+cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right)\right]-1}$

$\textsf{Using formula (3), we get}$

$\mathsf{=2\,sin\dfrac{C}{2}\left[2\,cos\dfrac{A}{2}\,cos\dfrac{B}{2}\right]-1}$

$\mathsf{=4\,cos\dfrac{A}{2}\,cos\dfrac{B}{2}\,sin\dfrac{C}{2}-1}$

$\implies\boxed{\mathsf{cosA+cosB-cosC=-1+4\,cos\dfrac{A}{2}\,cos\dfrac{B}{2}\,sin\dfrac{C}{2}}}$

$\underline{\textbf{Find more:}}$

यदि A+B+C= 900 तो सिद्ध कीजिए: tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA=1

https://brainly.in/question/15268179  

Tan 15 .tan25+tan15.tan50+tan25.tan50​

https://brainly.in/question/13615706

A+B+C=360 cot A/4 + cot B/4 + cot C/4=k cot A/4 cot B/4 cot C/4 then find k

https://brainly.in/question/6683676