Question

Integration 1/1+cotx​

Answer 1

I hope I understand...

Answer 2

$\underline{\textsf{Solution :}}$

$\boxed{\textsf{Method - 1}}$

$\mathsf{Now,\:\frac{1}{1+cotx}}$

$\mathsf{=\frac{1-cotx}{(1+cotx)(1-cotx)}}$

$\mathsf{=\frac{1-cotx}{cosec^{2}x}}$

$\mathsf{=\frac{1}{cosec^{2}x}-\frac{cotx}{cosec^{2}x}}$

$\mathsf{=sin^{2}x-\dfrac{\frac{cosx}{sinx}}{\frac{1}{sin^{2}x}}}$

$\mathsf{=sin^{2}x-cosx\:sinx}$

$\mathsf{=\frac{1}{2}(2sin^{2}x)-\frac{1}{2}(2sinx\:cosx)}$

$\mathsf{=\frac{1}{2}(1-cos2x)-\frac{1}{2}sin2x}$

$\mathsf{=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2x-\frac{1}{2}sin2x}$

$\textsf{On integration, we get}$

$\mathsf{\int \frac{dx}{1+cotx}}$

$\mathsf{=\frac{1}{2} \int dx-\frac{1}{2}\int cos2x\:dz-\frac{1}{2}\int sin2x\:dx}$

$\mathsf{=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}sin2x+\frac{1}{4}cos2x+C}$

$\textsf{where C is integral constant}$

$\to \small{\mathsf{\int \frac{dx}{1+cotx} = \frac{1}{2}x-\frac{1}{4}sin2x+\frac{1}{4}cos2x+C}}$

$\boxed{\textsf{Method - 2}}$

$\mathsf{Now,\:\frac{1}{1+cotx}}$

$\mathsf{=\dfrac{1}{1+\frac{cosx}{sinx}}}$

$\mathsf{=\frac{sinx}{sinx+cosx}}$

$\mathsf{=\dfrac{2\:sin\frac{x}{2}\:cos\frac{x}{2}}{sin^{2}\frac{x}{2}+cos^{2}\frac{x}{2}+cos^{2}\frac{x}{2}-sin^{2}\frac{x}{2}}}$

$\mathsf{=\dfrac{2\:sin\frac{x}{2}\:cos\frac{x}{2}}{2\:cos^{2}\frac{x}{2}}}$

$\mathsf{=tan\frac{x}{2}}$

$\textsf{On integration, we get}$

$\mathsf{\int \frac{dx}{1+cotx}}$

$\mathsf{=\int tan\frac{x}{2}\:dx}$

$\mathsf{=2\:log|sec\frac{x}{2}|+C}$

$\textsf{where C is integral constant}$

$\to \mathsf{\frac{dx}{1+cotx}=2\:log|sec\frac{x}{2}|+C}$