जाँच कीजिए कि क्या R में R = {(a,b) : < b³} द्वारा परिभाषित संबंध स्वतुल्य, सममित अथवा संक्रामक है?
Answers
Given : R = {(a,b) : < b³} द्वारा परिभाषित संबंध
To find : जाँच कीजिए कि संबंध R स्वतुल्य, सममित अथवा संक्रामक है?
Solution:
समुच्चय A पर परिभाषित संबंध R ;
(i) स्वतुल्य (reflexive) - कहलाता है यदि प्रत्येक a ∈ A के लिए (a , a) ∈ R
(ii) सममित (symmetric) कहलाता है यदि समस्त a₁ , a₂ ∈ A के लिए (a₁ , a₂) ∈ R से (a₂ , a₁ ) ∈ R प्राप्त हो
(iii) संक्रामक (transitive) कहलाता है यदि समस्त a₁ , a₂ . a ₃∈ A के लिए (a₁ , a₂) ∈ R तथा (a₂ , a₃ ) ∈ R से (a₁ , a₃ ) ∈ R प्राप्त हो
R = { (a, b) : a ≤ b³ },
स्वतुल्य (reflexive) :
यदि (a , a) ∈ R => a ≤ a³
1 = 1³ ( 1 , 1) ∈ R
2 < 8 (2 , 2) ∈ R
(1/2) > (1/2)³ => ( 1/2 , 1/2) ∉ R
=> प्रत्येक (a , a) ∉ R
=> संबंध स्वतुल्य नहीं है
सममित (symmetric)
(a₁ , a₂) ∈ R से (a₂ , a₁ ) ∈ R प्राप्त हो
( 1 , 2) ∈ R ∞∵ 1 ≤ 2 ³ परन्तु 2 > 1³ => ( 2 , 1) ∉ R
=> समस्त a₁ , a₂ ∈ A के लिए (a₁ , a₂) ∈ R से (a₂ , a₁ ) ∈ R प्राप्त नहीं होता
=> संबंध सममित नहीं है
संक्रामक (transitive)
a₁ , a₂ . a ₃∈ A के लिए (a₁ , a₂) ∈ R तथा (a₂ , a₃ ) ∈ R से (a₁ , a₃ ) ∈ R प्राप्त हो
1 , 2 , 3
(1 , 2) ∈ R ∵ 1 < 2³ तथा
(2 , 3) ∈ R ∵ 2 < 3³
(1 , 3) ∈ R ∵ 1 < 3³
3 , 3/2 , 4/3
( 3 , 3/2) ∈ R ∵ 3 < (3/2)³
( 3/2 , 4/3) ∈ R ∵ 3/2 < (4/3)³ तथा
( 3 , 4/3) ∉ R ∵ 3 > (4/3)³
समस्त a₁ , a₂ . a ₃∈ A के लिए (a₁ , a₂) ∈ R तथा (a₂ , a₃ ) ∈ R से (a₁ , a₃ ) ∈ R प्राप्त नहीं होता
=> संबंध संक्रामक नहीं है
संबंध R = {(a,b) : < b³} द्वारा परिभाषित संबंध . स्वतुल्य, सममित अथवा संक्रामक नहीं है
और सीखें :
निर्धारित कौजिए कि क्या निम्नलिखित संबंधों में से प्रत्येक स्वतुल्य, सममित तथा
संक्रामक हैं:
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