Math, asked by PraveenGupta447, 10 months ago

जाँच कीजिए कि क्‍या R में R = {(a,b) : < b³} द्वारा परिभाषित संबंध स्वतुल्य, सममित अथवा संक्रामक है?

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Answered by amitnrw
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Given :   R = {(a,b) : < b³} द्वारा परिभाषित संबंध

To find : जाँच कीजिए कि  संबंध  R स्वतुल्य, सममित अथवा संक्रामक है?

Solution:

समुच्चय A  पर  परिभाषित संबंध R ;

(i)  स्वतुल्य  (reflexive)   - कहलाता है यदि प्रत्येक  a ∈ A  के   लिए   (a , a) ∈ R

(ii)  सममित (symmetric) कहलाता है यदि  समस्त    a₁ , a₂ ∈ A के   लिए (a₁ , a₂) ∈ R  से   (a₂ , a₁ ) ∈ R  प्राप्त हो

(iii) संक्रामक  (transitive)   कहलाता है यदि  समस्त a₁ , a₂ . a ₃∈ A के   लिए (a₁ , a₂) ∈ R   तथा    (a₂ , a₃ ) ∈ R  से    (a₁ , a₃ ) ∈ R  प्राप्त हो

R = { (a, b) : a ≤ b³ },

स्वतुल्य  (reflexive)    :

यदि  (a , a) ∈ R   => a   ≤  a³

1 =  1³   ( 1 , 1) ∈ R

 2 < 8    (2 , 2) ∈ R

(1/2) > (1/2)³ => ( 1/2 , 1/2) ∉ R

=>  प्रत्येक    (a , a) ∉ R

=> संबंध स्वतुल्य नहीं    है

सममित (symmetric)

(a₁ , a₂) ∈ R  से   (a₂ , a₁ ) ∈ R  प्राप्त हो

( 1 ,  2) ∈ R  ∞∵  1  ≤ 2 ³    परन्तु  2 > 1³  => ( 2 ,  1) ∉ R

=>  समस्त    a₁ , a₂ ∈ A के   लिए (a₁ , a₂) ∈ R  से   (a₂ , a₁ ) ∈ R  प्राप्त  नहीं होता  

=> संबंध सममित नहीं  है

संक्रामक  (transitive)

a₁ , a₂ . a ₃∈ A के   लिए (a₁ , a₂) ∈ R   तथा    (a₂ , a₃ ) ∈ R  से    (a₁ , a₃ ) ∈ R  प्राप्त हो  

1 , 2 , 3

(1 ,  2)  ∈ R ∵ 1 < 2³   तथा

(2 , 3)  ∈ R  ∵  2 < 3³

(1 ,  3)   ∈ R    ∵  1 < 3³

3 , 3/2 , 4/3

( 3 , 3/2) ∈ R ∵ 3 < (3/2)³  

( 3/2 , 4/3) ∈ R ∵ 3/2 < (4/3)³   तथा

( 3 , 4/3) ∉ R  ∵  3 >   (4/3)³

 समस्त a₁ , a₂ . a ₃∈ A के   लिए (a₁ , a₂) ∈ R   तथा    (a₂ , a₃ ) ∈ R  से    (a₁ , a₃ ) ∈ R  प्राप्त नहीं होता

=> संबंध संक्रामक  नहीं   है  

संबंध   R = {(a,b) : < b³} द्वारा परिभाषित संबंध . स्वतुल्य, सममित अथवा संक्रामक नहीं है

और सीखें :

निर्धारित कौजिए कि क्‍या निम्नलिखित संबंधों में से प्रत्येक स्वतुल्य, सममित तथा

संक्रामक हैं:

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सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में R = { (a, b) : a ≤ b²}, द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R, न तो स्वतुल्य है, न सममित हैं और न ही संक्रामक है।

https://brainly.in/question/16549217

सिद्ध कीजिए कि R में R = { (a, b) : a ≤ b}, द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किन्तु सममित नहीं है।

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