Math, asked by manjubijoy9056, 9 months ago

सिद्ध कीजिए कि समुच्चय {1,2,3} में R = { (1,2), (2,1) } द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध R सममित है किन्तु न तो स्वतुल्य है और न संक्रामक है।

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Answered by amitnrw
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Given :   समुच्चय {1,2,3} में R = { (1,2), (2,1) } द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध R

To find : सिद्ध कीजिए कि   संबंध  R   सममित है किन्तु न तो स्वतुल्य है और न संक्रामक है।

Solution:

समुच्चय A  पर  परिभाषित संबंध R ;

(i)  स्वतुल्य  (reflexive)   - कहलाता है यदि प्रत्येक  a ∈ A  के   लिए   (a , a) ∈ R

(ii)  सममित (symmetric) कहलाता है यदि  समस्त    a₁ , a₂ ∈ A के   लिए (a₁ , a₂) ∈ R  से   (a₂ , a₁ ) ∈ R  प्राप्त हो

(iii) संक्रामक  (transitive)   कहलाता है यदि  समस्त a₁ , a₂ . a ₃∈ A के   लिए (a₁ , a₂) ∈ R   तथा    (a₂ , a₃ ) ∈ R  से    (a₁ , a₃ ) ∈ R  प्राप्त हो

यदि   संबंध R  स्वतुल्य , सममित   तथा  संक्रामक  हो  =>  सम्बन्ध R एक तुल्यता सम्बन्ध

R = { 1 , 2 , 3 }

R = { (1, 2) , ( 2 , 1)   },

स्वतुल्य  (reflexive)    :

यदि  (a , a) ∈ R  

किन्तु   (1 , 1) ∉ R

=> संबंध स्वतुल्य नहीं  है

सममित (symmetric)

(a₁ , a₂) ∈ R  से   (a₂ , a₁ ) ∈ R  प्राप्त हो

(1 ,  2) ∈ R   ( 2 ,  1) ∈ R  

=>  समस्त    a₁ , a₂ ∈ A के   लिए (a₁ , a₂) ∈ R  से   (a₂ , a₁ ) ∈ R  प्राप्त  

=> संबंध सममित   है

संक्रामक  (transitive)

a₁ , a₂ . a ₃∈ A के   लिए (a₁ , a₂) ∈ R   तथा    (a₂ , a₃ ) ∈ R  से    (a₁ , a₃ ) ∈ R  प्राप्त हो  

(1,  2)  ∈ R  

(2 , 1)  ∈ R  

किन्तु   (1 , 1) ∉ R

 समस्त a₁ , a₂ . a ₃∈ A के   लिए (a₁ , a₂) ∈ R   तथा    (a₂ , a₃ ) ∈ R  से    (a₁ , a₃ ) ∈ R  प्राप्त  नहीं

=> संबंध संक्रामक  नहीं  है  

=>  संबंध R = { (1, 2) , ( 2 , 1)   } सममित है किन्तु न तो स्वतुल्य है और न संक्रामक है

QED

इति सिद्धम

और सीखें :

निर्धारित कौजिए कि क्‍या निम्नलिखित संबंधों में से प्रत्येक स्वतुल्य, सममित तथा

संक्रामक हैं:

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