सिद्ध कीजिए कि समुच्चय {1,2,3} में R = { (1,2), (2,1) } द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध R सममित है किन्तु न तो स्वतुल्य है और न संक्रामक है।
Answers
Given : समुच्चय {1,2,3} में R = { (1,2), (2,1) } द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध R
To find : सिद्ध कीजिए कि संबंध R सममित है किन्तु न तो स्वतुल्य है और न संक्रामक है।
Solution:
समुच्चय A पर परिभाषित संबंध R ;
(i) स्वतुल्य (reflexive) - कहलाता है यदि प्रत्येक a ∈ A के लिए (a , a) ∈ R
(ii) सममित (symmetric) कहलाता है यदि समस्त a₁ , a₂ ∈ A के लिए (a₁ , a₂) ∈ R से (a₂ , a₁ ) ∈ R प्राप्त हो
(iii) संक्रामक (transitive) कहलाता है यदि समस्त a₁ , a₂ . a ₃∈ A के लिए (a₁ , a₂) ∈ R तथा (a₂ , a₃ ) ∈ R से (a₁ , a₃ ) ∈ R प्राप्त हो
यदि संबंध R स्वतुल्य , सममित तथा संक्रामक हो => सम्बन्ध R एक तुल्यता सम्बन्ध
R = { 1 , 2 , 3 }
R = { (1, 2) , ( 2 , 1) },
स्वतुल्य (reflexive) :
यदि (a , a) ∈ R
किन्तु (1 , 1) ∉ R
=> संबंध स्वतुल्य नहीं है
सममित (symmetric)
(a₁ , a₂) ∈ R से (a₂ , a₁ ) ∈ R प्राप्त हो
(1 , 2) ∈ R ( 2 , 1) ∈ R
=> समस्त a₁ , a₂ ∈ A के लिए (a₁ , a₂) ∈ R से (a₂ , a₁ ) ∈ R प्राप्त
=> संबंध सममित है
संक्रामक (transitive)
a₁ , a₂ . a ₃∈ A के लिए (a₁ , a₂) ∈ R तथा (a₂ , a₃ ) ∈ R से (a₁ , a₃ ) ∈ R प्राप्त हो
(1, 2) ∈ R
(2 , 1) ∈ R
किन्तु (1 , 1) ∉ R
समस्त a₁ , a₂ . a ₃∈ A के लिए (a₁ , a₂) ∈ R तथा (a₂ , a₃ ) ∈ R से (a₁ , a₃ ) ∈ R प्राप्त नहीं
=> संबंध संक्रामक नहीं है
=> संबंध R = { (1, 2) , ( 2 , 1) } सममित है किन्तु न तो स्वतुल्य है और न संक्रामक है
QED
इति सिद्धम
और सीखें :
निर्धारित कौजिए कि क्या निम्नलिखित संबंधों में से प्रत्येक स्वतुल्य, सममित तथा
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