सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में R = { (a, b) : a ≤ b²}, द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R, न तो स्वतुल्य है, न सममित हैं और न ही संक्रामक है।
Answers
Given : वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में R = { (a, b) : a ≤ b²}, द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R,
To find : सिद्ध कीजिए कि संबंध न तो स्वतुल्य है, न सममित हैं और न ही संक्रामक है
Solution:
समुच्चय A पर परिभाषित संबंध R ;
(i) स्वतुल्य (reflexive) - कहलाता है यदि प्रत्येक a ∈ A के लिए (a , a) ∈ R
(ii) सममित (symmetric) कहलाता है यदि समस्त a₁ , a₂ ∈ A के लिए (a₁ , a₂) ∈ R से (a₂ , a₁ ) ∈ R प्राप्त हो
(iii) संक्रामक (transitive) कहलाता है यदि समस्त a₁ , a₂ . a ₃∈ A के लिए (a₁ , a₂) ∈ R तथा (a₂ , a₃ ) ∈ R से (a₁ , a₃ ) ∈ R प्राप्त हो
R = { (a, b) : a ≤ b²},
स्वतुल्य (reflexive) :
यदि (a , a) ∈ R => a ≤ a²
1 ≤ 1
2 ≤ a²
1/2 > (1/2)²
( 1/2 , 1/2 ) ∉ R
=> प्रत्येक (a , a) ∉ R
=> संबंध स्वतुल्य नहीं है
सममित (symmetric)
(a₁ , a₂) ∈ R से (a₂ , a₁ ) ∈ R प्राप्त हो
( 1 , 2) ∈ R 1 ≤ 2² परन्तु 2 > 1² => ( 2 , 1) ∉ R
=> समस्त a₁ , a₂ ∈ A के लिए (a₁ , a₂) ∈ R से (a₂ , a₁ ) ∈ R प्राप्त नहीं होता
=> संबंध सममित नहीं है
संक्रामक (transitive)
a₁ , a₂ . a ₃∈ A के लिए (a₁ , a₂) ∈ R तथा (a₂ , a₃ ) ∈ R से (a₁ , a₃ ) ∈ R प्राप्त हो
2 , -2 , 1
(2 , -2) ∈ R ∵ 2 ≤ (-2)² तथा
(-2 , 1) ∈ R ∵ -2 ≤ (1)²
परन्तु (2 , 1 ) ∉ R ∵ 2 > 1 ²
=> समस्त a₁ , a₂ . a ₃∈ A के लिए (a₁ , a₂) ∈ R तथा (a₂ , a₃ ) ∈ R से (a₁ , a₃ ) ∈ R प्राप्त नहीं होता
=> संबंध संक्रामक नहीं है
इति सिद्धम
कि संबंध न तो स्वतुल्य , सममित तथा संक्रामक नहीं है
और सीखें :
निर्धारित कौजिए कि क्या निम्नलिखित संबंधों में से प्रत्येक स्वतुल्य, सममित तथा
संक्रामक हैं:
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Given the relation r = {(1, 2), (2, 3)} on the set a = {1, 2, 3},
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Give an example of a relation. Which is reflexive and symmetric but not transitive.
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