Question

किसी गुणोत्तर श्रेणी के तीन पदों का योग $56$ है। यदि हम क्रम से इन संख्याओं में से $1, \,7, \,21$ घटाएँ तो हमें एक समांतर श्रेणी प्राप्त होती है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

Answer 1

हल:- माना गुणोत्तर श्रेणी की तीन संख्या a, ar, ar² है

प्रश्न अनुसार - a + ar + ar² = 56. ...........(1)

°•° (a-1) , ( ar - 7) तथा (ar² - 21)समांतर श्रेणी में है

2(ar-7) = (a -1) + (ar² - 21)

a + ar² = 2ar +8 ..............(2)

समीकरण (1) से a + ar² = 56 - ar ............(3)

समीकरण (2) तथा समीकरण (3) से,

2ar + 8 = 56 - ar

3ar = 48 या ar = 16

r = 16/a .......................(4)

समीकरण (1) में r = 16/a रखने पर,

$a + a \times \frac{16}{a} \times \frac{256}{ {a}^{2} } = 56 \\ \\ a + 16 + \frac{256}{a} = 56$

${a}^{2} + 16a + 256 = 56a \\ \\ {a}^{2 } - 40a + 256 = 0 \\ \\ {a}^{2} - 8a - 32a + 256 = 0 \\ \\ a(a - 8) - 32(a - 8) = 0 \\ \\ (a - 8)(a - 32) = 0$

इसलिए a= 8 अथवा a = 32

समीकरण (4) में a का मान रखने पर

r = 46/8 = 2. अथवा r = 16/32 = 1/2

अतः a तथा r के मान रखने पर अभीष्ट संख्या निम्नलिखित हैं

8, 16, 32 अथवा 32 , 16 , 8