Question

किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A से B पर डाला गया लम्ब BC को बिंदु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3 CD है (देखिए आकृति 6.55)। सिद्ध कीजिए कि $2AB^2 = 2AC^2 + BC^2$ है।

Answer 1

किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A से B पर डाला गया लम्ब BC को बिंदु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3 CD है ।

हमें सिद्ध करना है कि, 2AB² = 2AC²  + BC²

प्रमाण : दिया गया है, AD⊥CD तथा DB = 3CD

त्रिभुज ADB में, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,

AB² = AD² + DB²

⇒ AB² = AD² + (3CD)² [∵ DB = 3CD दिया गया है। ]

⇒ AB² = AD² + 9CD² ------- (i)

पुनः, त्रिभुज ACD में, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,

AC² = AD² + CD²

⇒ AD²  = AC² – CD² ------------ (ii)

AD² का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि

AB² = AC² – CD² + 9CD²

⇒ AB² = AC² + 8CD²

दोनों तरफ 2 से गुणा करने पर,

2AB2 = 2AC2 + 16CD2 ---------(iii)

अब, BC = CD + DB

⇒ BC = CD + 3CD [∵ DB = 3CD (प्रश्न के अनुसार)]

⇒ BC = 4CD

दोनों तरफ वर्ग करने पर हम पाते हैं कि

BC² = 16CD² ------------- (iv)

अब 16CD² का मान समीकरण (iii) में रखने पर हम पाते हैं कि

2AB² = 2AC² + BC² [ प्रमाणित हुआ। ].