Question

क्या परिमाप 80 m तथा क्षेत्रफल $400 m^2$ के एक पार्क को बनाना संभव है? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

Answer 1

किसी आयताकार क्षेत्र का परिमाप वह उसका क्षेत्रफल प्रश्न के हिसाब से 80 या 400 मीटर स्क्वायर है तो हम समीकरण बनाकर यह ज्ञात कर सकते हैं कि ऐसा क्षेत्र संभव है या नहीं

मान लेते हैं कि क्षेत्र की लंबाई x तथा चौड़ाई y है परिमाप के लिए हम सूत्र लगाएंगे

$2(x + y) = 80 \\ \\ x + y = 40 \\ \\ xy = 400$
अब हम समीकरण 2 से x का मान निकालकर समीकरण एक में रखेंगे तथा उसको हल करेंगे

$y = \frac{400}{x} \\ \\ x + \frac{400}{x} = 80 \\ \\ {x}^{2} + 400 = 80x \\ \\ {x}^{2} - 80x + 400 = 0 \\ \\ x_{1,2} = \frac{80 ± \sqrt{6400 - 1600} }{2} \\ \\ = \frac{80 ±40 \sqrt{3} }{2} \\ \\ = 40 ± 20 \sqrt{3} \\ \\ x_{1} = 40 + 20 \sqrt{3} \\ \\ x_{2} = 40 - 20 \sqrt{3}$

$y = 40 - x \\ \\ y_{1} = 40 - x_{1} \\ \\ = 40 - 40 - 20 \sqrt{3} \\ \\y_{1} = - 20 \sqrt{3} \\ \\ y_{2} = 20 \sqrt{3}$

अब इन मानो को समीकरण में रखकर हम पुष्टि करेंगे कि क्या इन मान इन लंबाई व चौड़ाई के साथ वह क्षेत्र बनाना संभव है कि नहीं जिसका परिमाप 80 है जिसका क्षेत्रफल 400 मीटर स्क्वायर है

$x_{1}= 40 + 20 \sqrt{3} m \\ \\ y_{1}= - 20 \sqrt{3} \: m\\ \\ 2(x + y) = 2(40 + 20 \sqrt{3} - 20 \sqrt{3} ) \\ \\ = 80 \: m \\ \\ y_{1}x_{1}= (40 + 20 \sqrt{3} )( - 20 \sqrt{3} ) \\ \\ = - 800 \sqrt{3} - 400 \times 3 ≠400$

यह विदित हो गया है कि ऐसा क्षेत्र बनाना संभव नहीं है क्योंकि किसी भी तरह इसका क्षेत्रफल 400 m^2 नहीं हो सकता |