Question

Let a be the 2 2 matrix with elements a11 = a12 = a21 = +1 and a22 = 1. Then the eigenvalues of the matrix a19 are

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\textsf{Let A be a 2x2 matrix with}\;\mathsf{a_{11}=a_{12}=a_{21}=1}$

$\mathsf{and\;a_{22}=-1}$

$\underline{\textbf{To find:}}$

$\textsf{The eigen values of the matrix}$

$\mathsf{A^{19}}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\mathsf{A=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\end{array}\right)}$

$\textsf{The characteristic polynomial of A is}\;\mathsf{|A-\lambda\,I|=0}$

$\implies\mathsf{\left|\begin{array}{cc}1-\lambda&1\\1&-1-\lambda\end{array}\right|=0}$

$\implies\mathsf{\left|\begin{array}{cc}1-\lambda&1\\1&-(1+\lambda)\end{array}\right|=0}$

$\implies\mathsf{-(1+\lambda)(1-\lambda)-1=0}$

$\implies\mathsf{-(1^2-\lambda^2)-1=0}$

$\implies\mathsf{\lambda^2-2=0}$

$\implies\mathsf{\lambda^2=2}$

$\implies\mathsf{\lambda=\pm\sqrt2}$

$\textsf{We know that,}$

$\boxed{\mathsf{If\;\lambda\;is\;a\;eigen\;value\;of\;A,\;then\;\lambda^n\;is\;a\;eigen\;value\;of\;A^n}}$

$\mathsf{Eigen\;value\;of\;A^{19}\are\;(\sqrt2)^{19}\;and\;(-\sqrt2)^{19}}$

$\mathsf{Eigen\;value\;of\;A^{19}\are\;(\sqrt2)^{18}\sqrt2\;and\;(-\sqrt2)^{18}(-\sqrt2)}$

$\mathsf{Eigen\;value\;of\;A^{19}\are\;512\sqrt2\;and\;-512\sqrt2}$

$\underline{\textbf{Find more:}}$