Math, asked by Sadhvika3879, 10 months ago

मान लीजिए कि N में a * b = a तथा b का HCF द्वारा परिभाषित एक द्विआधारी संक्रिया है। क्या * क्रमविनिमेय है? क्या * साहचर्य है? क्‍या N में इस द्विआधारी संक्रिया के तत्समक का अस्तित्व है?

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Answered by amitnrw
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Given :  N में a * b = a तथा b का HCF द्वारा परिभाषित एक द्विआधारी संक्रिया है।

To find :  क्या * क्रमविनिमेय है? क्या * साहचर्य है  क्‍या N में इस द्विआधारी संक्रिया के तत्समक का अस्तित्व है?

Solution :

a ✱  b = a तथा b का H.C.F द्वारा परिभाषित है

1 ✱ 1  =  1   1 ✱ 2  = 1  1 ✱ 3  =  1   1 ✱ 4  = 1   1 ✱ 5  = 1  

2 ✱ 1  =  1  2✱ 2  = 2  2✱ 3  =  1  2 ✱ 4  =2   2 ✱ 5  = 1  

3 ✱ 1  =  1  3 ✱ 2  = 1  3 ✱ 3  = 3  3 ✱ 4  = 1   3 ✱ 5  = 1  

4✱ 1  =  1  4 ✱ 2  = 2  4 ✱ 3  =  1   4 ✱ 4  = 4   4 ✱ 5  = 1  

5 ✱ 1  =  1   5 ✱ 2  = 1  5 ✱ 3  =  1   5 ✱ 4  = 1   5 ✱ 5  = 5  

संक्रिया सारणी

*                  1            2             3                 4           5

1                  1             1              1                 1            1

2                 1            2              1                 2            1

3                 1            1               3                1            1

4                 1            2              1                4            1

5                 1             1              1                1            5

a ✱  b = b ✱  a

=> संक्रिया क्रमविनिमेय  है

(a ✱  b)✱ c   =a ✱   (b✱ c )

=> संक्रिया साहचर्य है

द्विआधारी संक्रिया के तत्समक का अस्तित्व नहीं  है

और सीखें :

द्विआधारी संक्रिया प्राप्त होती हे या नहीं।

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निम्नलिखित फलनों की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच

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gof तथा fog ज्ञात कीजिए,

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फलन R⟶R, न तो एकैकी है और न आच्छादक है,

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सिद्ध कीजिए कि   (f + g) oh = foh + goh

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Answered by Anonymous
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Step-by-step explanation:

(ii) a * b = a तथा b का L.C.M.

= b तथा a का L.C.M

a * b = b * a

अतः द्विआधारी संक्रिया क्रम विनिमेय है।

(iii) a * (b * c) = a * (b तथा c का L.C.M.)

= a तथा (b तथा c का L.C.M.) का L.C.M.

= a, b तथा c का L.C.M.

इसी प्रकार

(a * b) * c =(a तथा b का L.C.M.) * c

=a, b, c of L.C.M.

⇒ a *(b * c) =(a * b) * c

अतः द्विआधारी संक्रिया * साहचर्य है।

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