मान लीजिए कि N में a * b = a तथा b का HCF द्वारा परिभाषित एक द्विआधारी संक्रिया है। क्या * क्रमविनिमेय है? क्या * साहचर्य है? क्या N में इस द्विआधारी संक्रिया के तत्समक का अस्तित्व है?
Answers
Given : N में a * b = a तथा b का HCF द्वारा परिभाषित एक द्विआधारी संक्रिया है।
To find : क्या * क्रमविनिमेय है? क्या * साहचर्य है क्या N में इस द्विआधारी संक्रिया के तत्समक का अस्तित्व है?
Solution :
a ✱ b = a तथा b का H.C.F द्वारा परिभाषित है
1 ✱ 1 = 1 1 ✱ 2 = 1 1 ✱ 3 = 1 1 ✱ 4 = 1 1 ✱ 5 = 1
2 ✱ 1 = 1 2✱ 2 = 2 2✱ 3 = 1 2 ✱ 4 =2 2 ✱ 5 = 1
3 ✱ 1 = 1 3 ✱ 2 = 1 3 ✱ 3 = 3 3 ✱ 4 = 1 3 ✱ 5 = 1
4✱ 1 = 1 4 ✱ 2 = 2 4 ✱ 3 = 1 4 ✱ 4 = 4 4 ✱ 5 = 1
5 ✱ 1 = 1 5 ✱ 2 = 1 5 ✱ 3 = 1 5 ✱ 4 = 1 5 ✱ 5 = 5
संक्रिया सारणी
* 1 2 3 4 5
1 1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 1
3 1 1 3 1 1
4 1 2 1 4 1
5 1 1 1 1 5
a ✱ b = b ✱ a
=> संक्रिया क्रमविनिमेय है
(a ✱ b)✱ c =a ✱ (b✱ c )
=> संक्रिया साहचर्य है
द्विआधारी संक्रिया के तत्समक का अस्तित्व नहीं है
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Step-by-step explanation:
(ii) a * b = a तथा b का L.C.M.
= b तथा a का L.C.M
a * b = b * a
अतः द्विआधारी संक्रिया क्रम विनिमेय है।
(iii) a * (b * c) = a * (b तथा c का L.C.M.)
= a तथा (b तथा c का L.C.M.) का L.C.M.
= a, b तथा c का L.C.M.
इसी प्रकार
(a * b) * c =(a तथा b का L.C.M.) * c
=a, b, c of L.C.M.
⇒ a *(b * c) =(a * b) * c
अतः द्विआधारी संक्रिया * साहचर्य है।