Question

निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए:
(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल $528 m^2$ है। क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है। हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।
(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।
(iv) एक रेलगाड़ी 480 Km की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 Km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।

Answer 1

(i) माना कि आयताकार भूखंड की चौड़ाई = x
तब आयताकार भूखंड की लंबाई = 2x + 1

प्रश्न से, आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल = 528m²
लंबाई × चौड़ाई = 528 m²
(2x + 1) × x = 528
2x² + x = 528
2x² + x - 528 = 0
2x² - 32x + 33x - 528 = 0
2x(x - 16) + 33(x - 16) = 0
(2x + 33)(x - 16) = 0
x = 16 और, -33/2
लेकिन x ≠ -33/2
इसीलिए, x = 16

आयताकार भूखंड की चौड़ाई = x = 16 m
आयताकार भूखंड की लंबाई = 2x + 1 = 32 + 1 = 33m

(ii) माना दो धनात्मक पूर्णांक x, x +1 है ।
प्रश्न से,
x × (x + 1) = 306
x² + x - 306 = 0
x² + 18x - 17x - 306 = 0
x(x + 18) - 17(x + 18) = 0
(x - 17)(x + 18) = 0
x = 17, -18
लेकिन x ≠ -18
तब , x = 17 और, x + 1 = 18

(iii) माना कि रोहित की आयु = x
माँ की आयु = x + 26

प्रश्न से,
(x + 3) × (x + 26 + 3) = 360
(x + 3) × (x + 29) = 360
x² + 32x + 87 = 360
x² + 32x - 273 = 0
x² + 39x - 7x - 273 = 0
x(x + 39) - 7(x + 39) = 0
(x + 39)(x - 7) = 0
x = 7 , -39
अतः रोहित की आयु = 7 वर्ष
माँ की आयु = 33

(iv) माना कि रेलगाड़ी की चाल = x
दी गयी दूरी = 480km
480km की दूरी तय करने में लगा समय = 480/x hr

प्रश्न से,
480/(x - 8) - 480/x = 3
480[1/(x - 8) - 1/x] = 3
160[(x - x + 8)/(x² - 8x) ] = 1
160 × 8 = x² - 8x
x² - 8x - 1280 = 0
x² - 40x + 32x - 1280 = 0
x(x - 40) + 32(x - 40) = 0
(x + 32)(x - 40) = 0
x = -32 , 40
अतः रेलगाड़ी की चाल = 40km/h