Question

निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि मूलों का अस्तित्व हो तो उन्हें ज्ञात कीजिए:
(I) $2x^{2}- 3x + 5 = 0$
(II) $3x^{2}- 4\sqrt{3}x+4=0$
(III) $2x^{2} - 6x + 3 = 0$

Answer 1

निम्न द्विघात समीकरणों के मूल्यों की प्रकृति ज्ञात करने के लिए हम सर्वप्रथम D का मान ज्ञात करेंगे यदि यह 0 या उससे बड़ा हुआ तो इसके वास्तविक मूल संभव है |

$D= {b}^{2} - 4ac$
(I) $2x^{2}- 3x + 5 = 0$
$a = 2 \\ \\ b = - 3 \\ \\ c = 5 \\ \\ D = ( { - 3})^{2} - 4(2)(5) \\ \\ = 9 - 40 \\ \\ = - 31 \\ \\ D < 0$
इस द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल संभव नहीं है|

(II) $3x^{2}- 4\sqrt{3}x+4=0$

$a = 3 \\ \\ b = - 4 \sqrt{3} \\ \\ c = 4 \\ \\ D = {( - 4 \sqrt{3} )}^{2} - 4(3)(4) \\ \\ = 48 - 48 \\ \\ = 0$
अर्थात इसके वास्तविक मूल संभव है और वह दोनों बराबर होंगे

$x_{1,2} = \frac{ - b ± \sqrt{D} }{2a} \\ \\ = \frac{4 \sqrt{3} ± 0 }{8} \\ \\ x_{1,2} = \frac{ \sqrt{3} }{2}$

(III) $2x^{2} - 6x + 3 = 0$

$a = 2 \\ \\ b = - 6 \\ \\ c = 3 \\ \\ D = {( - 6)}^{2} - 4(2)(3) \\ \\ = 36 - 24 \\ \\ = 12 \\ \\ D = 12 \\ \\ D > 0$

अर्थात इस द्विघात समीकरण के वास्तविक वह अलग अलग मूल होंगे

$x_{1,2} = \frac{ - b ± \sqrt{D} }{2a} \\ \\ = \frac{ 6 ±\sqrt{12} }{4} \\ \\ = \frac{6 ± 2 \sqrt{3} }{4} \\ \\ x_{1} = \frac{6 + 2 \sqrt{3} }{4} \\ \\ = \frac{3 + \sqrt{3} }{2} \\ \\ x_{2} = \frac{3 - \sqrt{3} }{2}$