Question

निम्नलिखित के प्रसार में व्यापक पद लिखिए: $(x^2 - y)^6$

Answer 1

निम्नलिखित के प्रसार में व्यापक पद लिखिए: $(x^2 - y)^6$

द्विपद प्रमेय ${(x + y)}^{n} = ^nC_0 {x}^{n} {y}^{0} + ^nC_1 {x}^{n - 1} {y}^{1} ... \\\\+ ^nC_n {x}^{0} {y}^{n}$

$(x^2 - y)^6=^{6}C_{0} {(x^2)}^{6} {( -y)}^{0} +^{6}C_{1} {(x^2)}^{5} {( -y)}^{1}+^{6}C_{2} {(x^2)}^{4} {( -y)}^{2} \\\\+^{6}C_{3} {(x^2)}^{3} {( -y)}^{3}+^{6}C_{4} {(x^2)}^{2} {( -y)}^{4}+^{6}C_{5} {(x^2)}^{1} {( -y)}^{5} +\\\\^{6}C_{6} {(x^2)}^{0} {( -y)}^{6}$

$= {x}^{12} - \frac{6!}{5!} {x}^{10}y + \frac{6!}{4!2!} {x}^{8} {y}^{2}\\\\ - \frac{6!}{3!3!} {x}^{6} {y}^{3} + \frac{6!}{2!4!} {x}^{4} {y}^{4} - \frac{6!}{5!} {x}^{2} {y}^{5} + {y}^{6} \\ \\\\\\(x^2 - y)^6 = {x}^{12} - 6 {x}^{10} {y} + 15{x}^{8} {y}^{2} \\\\- 20{x}^{6} {y}^{3} + 15{x}^{4} {y}^{4} - 6{x}^{2} {y}^{5} + {y}^{6}$

Answer 2

महत्वपूर्ण तथ्य ☞

ऐसा वीजीय व्यंजक जिसमें दो पद होते हैं .

द्विपद ( Binomial ) कहलाता है ।

उदाहरण : a + b, 2x - 3y तथा 2/x - 1/x²

ऐसा बीजीय व्यंजक जिसमें तीन पद होते हैं , त्रिपद ( Trinomial ) कहलाता है ।

व्यापक रूप से ऐसा व्यंजक जिसमें दो से अधिक पद होते बहुपदी व्यंजक ( Multinomial Expression ) कहलाता है । द्विपद का व्यापक रूप ( x + 1 ) हैं ।

प्रत्येक धन पूर्णाक n के लिए ( x + a )^n का प्रसार द्विपद प्रमेय कहलाता है ।

$\bf \: Solution -$

(x² - y)^6 के प्रसार में व्यापक पद

$T_{r + 1} = {}^{6} c_r( {x}^{2} ) {}^{6 - r} ( - y) {}^{r} \\ \\ \\ = {}^{6} c_r \times {x}^{12 - 2x} ( - 1) {}^{r} {y}^{r} \\ \\ \\ = ( - 1) {}^{r} \times {}^{6} c_rx {}^{12 - 2r} {y}^{r}$