निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति में बताइये कि क्या दिए हुए फलन एकैकी, आच्छादक अथवा एकैकी आच्छादी (bijective) हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बताइये।
(i) f (x) = 3 – 4x द्वारा परिभाषित फलन ???? : R￫R है।
(ii) f (x) = 1 +x² द्वारा परिभाषित फलन ???? : R￫R है।
Answers
okay I will try to answer
Given : f (x) = 3 – 4x द्वारा परिभाषित फलन f : R ⟶ R है।
To find : क्या दिए हुए फलन एकैकी, आच्छादक अथवा एकैकी आच्छादी (bijective) हैं।
Solution :
एकैकी (one-one) अथवा एकैक (injective) फलन यदि प्रत्येक x₁ , x₂ ∈ X के लिए f(x₁) = f(x₂) का तात्पर्य है की x₁ = x₂
अनयथा फलन एक बहुएक (many - one) कहलाता है
आच्छादक (onto ) अथवा आच्छादी (surjective) फलन यदि प्रत्येक y ∈ Y के लिए
X में एक ऐसे अवयव का अस्तित्व है की f(x) = y
एकैकी तथा आच्छादक (one-one and onto ) => एकैकी आच्छादी ( bijective) -(injective and surjective)
R ⟶ R
f(x) = 3 - 4x
f(x₁) = 3 - 4x₁
f(x₂) = 3 - 4x₂
f(x₁) = f(x₂)
=> 3 - 4x₁ = 3 - 4x₂
=> -4x₁ = - 4x₂
=> x₁ = x₂
प्रत्येक x₁ , x₂ ∈ X के लिए f(x₁) = f(x₂) का तात्पर्य है की x₁ = x₂
=> फलन एकैकी , एकैक (Injective) है
y = f(x) y ∈ R
=> y = 3 - 4x
=> 4x = 3 - y
=> x = (3 - y)/4
y = f(x)
= f( (3 - y)/4)
= 3 - 4(3 - y)/4
= 3 - 3 + y
= y
=> प्रत्येक y ∈ Y के लिए
X में एक ऐसे अवयव का अस्तित्व है की f(x) = y
=> फलन आच्छादक (surjective ) है
फलन एकैकी तथा आच्छादक (one-one and onto ) => एकैकी आच्छादी ( bijective) है
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