Question

निम्नलिखित श्रेणियों के n पदों का योग ज्ञात कीजिए।
(i) $5 + 55 + 555 + ...$ (ii) $.6 +. 66 +. 666 +...$

Answer 1

श्रेणी के n पदों का योग = (5/81) ( 10 (10ⁿ - 1) -  9n)   5 + 55 + 555 + 5555 +...........................

Step-by-step explanation:

श्रेणी के n पदों का योग

5 + 55 + 555 + 5555 +............................................+ n पद

= 5(1  + 11 + 111   + 11111 +........................................... + n पद)

= 5 ( 1* 9  + 11*9  + 111* 9  + 1111 * 9  +................................+  n पद)/9

= 5(9 + 99 + 999  + 9999 +................................................+ n पद)/9

= 5( (10 - 1) + (100 - 1)  + (1000 - 1) + (10000 -1) +..................+ n पद)/9

= 5( 10 + 100 + 1000 + 10000  + ........................+n पद)/9  - 5n/9

= 5( 10¹ + 10² + 10³ + 10⁴  + ........................+ 10ⁿ)/9  - 5n/9

= 5 * 10 (10ⁿ - 1)/(10 - 1)9  - 5n/9

= 5 * 10 (10ⁿ - 1)/81  - 5n/9

= (5/81) ( 10 (10ⁿ - 1) -  9n)

n पदों का योग  = (5/81) ( 10 (10ⁿ - 1) -  9n)

श्रेणी के n पदों का योग = (5/81) ( 10 (10ⁿ - 1) -  9n)  

श्रेणी के n पदों का योग

.6 + .66 + .666 + .6666 +............................................+ n पद

= 6(.1  + .11 + .111   + .11111 +........................................... + n पद)

= 5 ( .1* 9  + .11*9  + .111* 9  + .1111 * 9  +................................+  n पद)/9

= 5(.9 + .99 + .999  + .9999 +................................................+ n पद)/9

= 5( (1 - 0.1) + (1 - 0.01)  + (1 -0.001) + (1 - 0.0001) +..................+ n पद)/9

= 5n/9 - 5(0.1 + 0.01 + 0.001 + ........................+n पद)/9

=  5n/9 -  5( 10⁻¹ + 10⁻² + 10⁻³ + 10⁻⁴  + ........................+ 10⁻ⁿ)/9

= 5n/9 -  5 (1 - 10⁻ⁿ)/(1 - 1/10)90

= 5n/9 -  5*  (1 - 10⁻ⁿ)/81

= (5/81) ( 9n - (1 - 10⁻ⁿ))

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