Question

प्रश्न 1 से 5 तक प्रत्येक व्यंजक का प्रसार कीजिए:5 $\left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{1}{x}\right)^5$

Answer 1

महत्वपूर्ण तथ्य ☞

ऐसा वीजीय व्यंजक जिसमें दो पद होते हैं .

द्विपद ( Binomial ) कहलाता है ।

उदाहरण : a + b, 2x - 3y तथा 2/x - 1/x²

ऐसा बीजीय व्यंजक जिसमें तीन पद होते हैं , त्रिपद ( Trinomial ) कहलाता है ।

व्यापक रूप से ऐसा व्यंजक जिसमें दो से अधिक पद होते बहुपदी व्यंजक ( Multinomial Expression ) कहलाता है । द्विपद का व्यापक रूप ( x + 1 ) हैं ।

प्रत्येक धन पूर्णाक n के लिए ( x + a )^n का प्रसार द्विपद प्रमेय कहलाता है ।

$\bf \: Solution-$

हल:- द्विपद प्रमेय के प्रयोग से,

$\left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{1}{x}\right)^5$

${}^{5} c_0 ( \frac{x}{3} ) {}^{5} + {}^{5} c_1( \frac{x}{3} ) {}^{4} ( \frac{1}{x} ) + {}^{5} c_2( \frac{x}{3} ) {}^{3} ( \frac{1}{x} ) {}^{2} + {}^{5} c_3 + ( \frac{x}{ {3}^{} } ) {}^{2} ( \frac{1}{x} ) {}^{3} \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: + {}^{5} c_4( \frac{x}{3} ) {}^{1} ( \frac{1}{x} ) {}^{4} + {}^{5} c_5( \frac{1}{x} ) {}^{5}$

$= \frac{ {x}^{5} }{ {3}^{5} } + 5 \times \frac{ {x}^{4} }{ {3}^{4} } \times \frac{1}{x} + 10 \times \frac{ {x}^{3} }{ {3}^{3} } \times \frac{1}{ {x}^{2} } \\ + 10 \times \frac{ {x}^{2} }{ {3}^{2} } \times \frac{1}{ {x}^{3} } + 5 \times \frac{x}{3} \times \frac{1}{ {x}^{4} } + \frac{1}{ {x}^{5} } \\ \\ \\ = \frac{ {x}^{5} }{243} + \frac{ {5x}^{3} }{81} + \frac{10x}{27} + \frac{10}{9x} + \frac{5}{ {3x}^{3} } + \frac{1}{ {x}^{5} }$