Question

प्रश्न 8 से 10 तक प्रत्येक श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका n वाँ पद दिया है: $n (n + 1) (n + 4)$

Answer 1

हल:- श्रेणी के n वाँ पद

= n(n + 1) ( n + 4)

= n ( n² + 4n +n +4 )

= n (n² +5n +4)

= n³ + 5n² +4n

श्रेणी के पदों का योगफल

$\bf \: S_n = \Sigma( {n}^{3} + {5n}^{2} + 4n) \\ \\ \bf \: = \Sigma \: {n}^{3} + 5 \Sigma \: {n}^{2} + 4 \Sigma \: n \\ \\ \bf \: = [ \frac{n {(n + 1)}^{} }{2} ] {}^{2} + 5 \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \frac{4n(n + 1)}{2} \\ \\ \bf \frac{n(n + 1)}{2} [ \frac{ {n}^{2} + n}{2} + \frac{10n + 5}{3} + 4] \\ \\ \bf \: \frac{n(n + 1)}{2} ( \frac{ {3n}^{2} + 3n + 20n + 10 + 24 }{6} ) \\ \\ = \bf \: \frac{n(n + 1)}{2} . \frac{ {3n}^{2} + 23n + 34 }{6} \\ \\ = \bf \: \frac{n(n + 1)}{12} [ {3n}^{2} + 17n + 6n + 34] \\ \\ \bf \: = \frac{n(n + 1)}{12} [n(3n + 17) + 2(3n + 17)] \\ \\ = \bf \: \frac{n(n + 1)(3n + 17)(n + 2)}{12}$

अतः दी गई श्रेणी के n पदों का योगफल

$\bf \: \frac{n(n + 1)(3n + 17)(n + 2)}{12}$

Answer 2

Sₙ=  n(n+ 1)(n+2)(3n + 17)/12 जिसका n वाँ पद n(n+1)(n+4)

Step-by-step explanation:

n वाँ पद  = n(n+1)(n+4)

aₙ = n(n² + 5n + 4)

∑aₙ =  ∑ (n³ + 5n² + 4n)

Sₙ = ∑aₙ       1  से n

Sₙ=   ∑ (n³ + 5n² + 4n)    1  से n

= ∑ n³  + ∑ 5n²+ ∑4n )    1  से n

=  ∑n³  + 5∑n²+ 4∑n

∑n³  =( (n)(n + 1)/2)²

∑n² =  (n)(n + 1)(2n + 1)/6

∑n = n(n+1)/2

Sₙ= ( (n)(n + 1)/2)²  + 5(n)(n + 1)(2n + 1)/6   + 4n(n+1)/2)

=> Sₙ= n²(n+1)²/4  + 5(n)(n + 1)(2n + 1)/6  + 2n(n+1)

=> Sₙ=  ((n)(n + 1)/12) (3n(n+1) + 10(2n+1)  + 24)

=> Sₙ=  ((n)(n + 1)/12) (3n² + 3n  + 20n+10  + 24)

=> Sₙ=  ((n)(n + 1)/12) (3n² + 23n  + 34)

=> Sₙ=  ((n)(n + 1)/12) (3n² + 6n +17n + 34)

=> Sₙ=  ((n)(n + 1)/12) (3n + 17)(n+ 2)

=> Sₙ=  n(n+ 1)(n+2)(3n + 17)/12

Sₙ=  n(n+ 1)(n+2)(3n + 17)/12  जिसका n वाँ पद n(n+1)(n+4)

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