Question

PQR एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण P समकोण है तथा QR पर बिंदु M इस प्रकार स्थित है कि $PM \bot QR$ है। दर्शाइए कि $PM^2 = QM.MR$ है।

Answer 1

हमे सिद्ध करना है : $PM^2=QM.MR$

प्रमाण : दिया गया है कि, PQR एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण P समकोण है तथा QR पर बिंदु M इस प्रकार स्थित है कि $PM \bot QR$ है ।
माना कि , ∠MPR = x

अब , ∆MPR में,
∠MRP = 180° – 90° – x
∠MRP = 90° – x

इसी प्रकार, ∆MPQ में,
∠MPQ = 90o - ∠MPR
∠MPQ = 90o – x

अब, ∆MPR और ∆MPQ से,
∠MPQ = ∠MRP
∠PMQ = ∠RMP
∠MQP = ∠MPR
अतः, ∆MPR$\sim$∆MPQ

हम जानते हैं कि दो समरुप त्रिभुज के संगत भुजाएँ समानुपातिक होती है ।

अतः, QM/PM = MP/MR
QM.MR = PM.PM = PM²

अर्थात, PM² = QM.MR

Answer 2

दिया है -

PQR एक समकोण त्रिभुज है जिसमें बिंदु P समकोण है

सिद्ध करना है -

( PM) ² = QM × MR

मान लेते हैं ㄥMPR = x

अब समकोण त्रिभुज MPR में

हम जानते हैं किसी सीधी रेखा पर डाला गया लंब 90° अंश का होता है

अतः ㄥMRP = 180° - 90° - x

इसी प्रकार ΔMPR में

ㄥMPQ = 90° - ㄥMPR

MPR का मान रखने पर

ㄥMPQ = 90° - x

ㄥMQP = 180°- 90°- (90°- x)

ㄥMQP = 180° - 180° + x

ㄥMQP = x

ΔQMP और ΔPMR मैं

ㄥMPQ = ㄥMRP

ㄥPMQ = ㄥRMP

ㄥMQP = ㄥMPR

अतः AAA समरूपता प्रमेय से

ΔQMP ~ ΔPMR

हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों की भुजाएं समानुपाती होती है

$\frac{QM}{PM } = \frac{ MP}{MR}$

त्रियक गुणा करने पर

(PM) ² = MQ × MR
$\bold{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:}$इति सिद्धांम