Question

Prove that, sin θ + sin 2θ + sin 3θ + ... + sin nθ = (sin (nθ/2)sin(n+1)θ/2), for all n ∈ N.

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

let p (n) : sin Ф + sin2Ф +sin 3Ф + .........sin n Ф

= sin nФ /2 sin  (n+1) /2 Ф / sin Ф/2, for all n ∈ N

p(1) : sin Ф = sin Ф/2 .sin 1+1/ 2 Ф/sin Ф /2

= sin Ф/2 .sin Ф / sin Ф/2 = sin Ф

Now let assume p (n) is true

natural number n = k

p(k) : sin Ф + sin2Ф +sin 3Ф + .........sin k Ф

= sin kФ /2 sin  (k+1) /2 Ф / sin Ф/2

Now to prove p(k+1) is true

p(k) : sin Ф + sin2Ф +sin 3Ф + .........sin k Ф + sin (k+1)Ф

sin k+1 Ф /2 sin  (k+1+1) /2 Ф / sin Ф/2