Question

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके निम्नलिखित 11 से 15 तक प्रश्नों को सिद्ध कीजिए:
11. $A= \begin{bmatrix} α & α2 & β+γ \\ β & β2 & γ+α \\ γ & γ2 & α+β \end{bmatrix}$ = (β - γ) (γ - α) (α - β) ( α + β + γ )

Answer 1

Given :     A = $\begin{bmatrix} \alpha & \alpha ^2 & \beta + \gamma \\ \beta & \beta ^2 & \gamma + \alpha \\ \gamma & \gamma ^2 & \alpha +\beta \end{bmatrix}$   = (β - γ) (γ - α) (α - β) ( α + β + γ )

To Find : सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके  सिद्ध कीजिए

Solution:

LHS = $\begin{bmatrix} \alpha & \alpha ^2 & \beta + \gamma \\ \beta & \beta ^2 & \gamma + \alpha \\ \gamma & \gamma ^2 & \alpha +\beta \end{bmatrix}$

R₁ → R₁ - R₂    R₂ → R₂ - R₃

= $\begin{bmatrix} \alpha - \beta & \alpha ^2 - \beta ^2 & \beta - \alpha \\ \beta - \gamma & \beta ^2 - \gamma ^2 & \gamma - \beta \\ \gamma & \gamma ^2 & \alpha +\beta \end{bmatrix}$

= $\begin{bmatrix} \alpha - \beta & (\alpha+ \beta)(\alpha - \beta) & -(\alpha - \beta) \\ \beta - \gamma & ( \beta + \gamma)( \beta - \gamma) & -( \beta - \gamma) \\ \gamma & \gamma ^2 & \alpha +\beta \end{bmatrix}$

= $(\alpha - \beta)( \beta - \gamma) \begin{bmatrix} 1 & \alpha+ \beta & -1 \\ 1 & \beta + \gamma & -1 \\ \gamma & \gamma ^2 & \alpha +\beta \end{bmatrix}$

C₁ →C₁ + C₃

=  $(\alpha - \beta)( \beta - \gamma) \begin{bmatrix} 0 & \alpha+ \beta & -1 \\0 & \beta + \gamma & -1 \\ \alpha +\beta + \gamma & \gamma ^2 & \alpha +\beta \end{bmatrix}$

= $(\alpha - \beta)( \beta - \gamma)( \alpha +\beta + \gamma ) \begin{bmatrix} 0 & \alpha+ \beta & -1 \\0 & \beta + \gamma & -1 \\ 1 & \gamma ^2 & \alpha +\beta \end{bmatrix}$

R₁ →R₁ - R₂

= $(\alpha - \beta)( \beta - \gamma)( \alpha +\beta + \gamma ) \begin{bmatrix} 0 & \alpha - \gamma & 0 \\0 & \beta + \gamma & -1 \\ 1 & \gamma ^2 & \alpha +\beta \end{bmatrix}$

= $(\alpha - \beta)( \beta - \gamma)( \alpha +\beta + \gamma )(\gamma - \alpha )\begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\0 & \beta + \gamma & -1 \\ 1 & \gamma ^2 & \alpha +\beta \end{bmatrix}$

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

मान | A | = a₁₁ ( a₂₂ * a₃₃ - a₃₂ * a₂₃) - a₁₂ (a₂₁ * a₃₃ - a₃₁ * a₂₃) + a₁₃(a₂₁*a₃₂  - a₃₁ * a₂₂)

=(α - β) (β - γ)  ( α + β + γ ) (γ - α)  ( 0  -(-1)( 0 - (-1)) + 0 )

= (α - β) (β - γ)  ( α + β + γ ) (γ - α)

= (β - γ) (γ - α) (α - β) ( α + β + γ )

= RHS

QED

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