Question

सारणिक का प्रसरण किए बिना सिद्ध कीजिए कि $\begin{bmatrix} a & a2 & bc \\ b & b2 & ca \\ c & c2 & ab \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 1 & a2 & a3 \\ 1 & b2 & b3 \\ 1 & c2 & c3 \end{bmatrix}$

Answer 1

Given : $\begin{bmatrix} a & a^2 & bc \\ b & b^2 & ca \\ c & c^2 & ab \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & a^2 & a^3 \\ 1 & b^2 & b^3 \\ 1 & c^2 & c^3 \end{bmatrix}$

To Find :  सारणिक का प्रसरण किए बिना सिद्ध कीजिए

Solution:

LHS  = $\begin{bmatrix} a & a^2 & bc \\ b & b^2 & ca \\ c & c^2 & ab \end{bmatrix}$

= $\frac{abc}{abc} \begin{bmatrix} a & a^2 & bc \\ b & b^2 & ca \\ c & c^2 & ab \end{bmatrix}$

aR₁  , bR₂ , cR₃

= $\frac{ 1}{abc} \begin{bmatrix} a^2 & a^3 & abc \\ b^2 & b^3 & abc \\ c^2 & c^3 & abc \end{bmatrix}$

= $\frac{abc}{abc} \begin{bmatrix} a^2 & a^3 & 1 \\ b^2 & b^3 & 1\\ c^2 & c^3 & 1\end{bmatrix}$

= $\begin{bmatrix} a^2 & a^3 & 1 \\ b^2 & b^3 & 1\\ c^2 & c^3 & 1\end{bmatrix}$

C₂   ↔   C₃    

=  $-1 \begin{bmatrix} a^2 & 1 & a^3 \\ b^2 & 1 & b^3 \\ c^2 & 1 & c^3 \end{bmatrix}$

C₁   ↔   C₂  

= $(-1)(-1) \begin{bmatrix} 1 & a^2 & a^3 \\ 1 & b^2 & b^3 \\ 1 & c^2 & c^3 \end{bmatrix}$

=  $\begin{bmatrix} 1 & a^2 & a^3 \\ 1 & b^2 & b^3 \\ 1 & c^2 & c^3 \end{bmatrix}$

= RHS

= QED

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