Question

यदि a, b ओर c वास्तविक संख्याएँ हो ओर सारणिक
$Δ = \begin{bmatrix} b+c & c+a & a+b \\ c+a & a+b & b+c \\ a+b & b+c & c+a \end{bmatrix}$ = 0
हो तो दर्शाइए कि या तो a+b+c = 0या a = b = c है।

Answer 1

Given :    a, b ओर c वास्तविक संख्याएँ Δ = $\begin{bmatrix} b+c & c+a & a+b \\ c+a & a+b & b+c \\ a+b & b+c & c+a \end{bmatrix}$

To Find :  दर्शाइए कि या तो a+b+c = 0 या a = b = c है।

Solution:

Δ = $\begin{bmatrix} b+c & c+a & a+b \\ c+a & a+b & b+c \\ a+b & b+c & c+a \end{bmatrix}$

R₁ → R₁  + R₂ + R₃

= $\begin{bmatrix} 2(a +b+c) &2(a +b+c) & 2(a +b+c) \\ c+a & a+b & b+c \\ a+b & b+c & c+a \end{bmatrix}$

= $2(a +b+c) \begin{bmatrix} 1 &1 & 1 \\ c+a & a+b & b+c \\ a+b & b+c & c+a \end{bmatrix}$

C₂ → C₂ - C₁   , C₃ → C₃ - C₁

= $2(a +b+c) \begin{bmatrix} 1 &0 & 0 \\ c+a & b-c & b-a \\ a+b &c-a & c-b\end{bmatrix}$

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

मान | A | = a₁₁ ( a₂₂ * a₃₃ - a₃₂ * a₂₃) - a₁₂ (a₂₁ * a₃₃ - a₃₁ * a₂₃) + a₁₃(a₂₁*a₃₂  - a₃₁ * a₂₂)

= 2(a + b +c ) * ( 1  ( (b - c)(c - b)   - (c - a)(b - a) )

= 2(a + b +c ) * (  -c² - b² + 2bc   - bc  + ab + ac - a² )

= 2(a + b +c ) * ( -1) ( a² +  b² +  c²  -  ab -  bc -  ac)  )

= -(a + b +c ) (2a² + 2b² + 2c²  - 2ab - 2bc - 2ac)

= -(a + b +c ) (a² + b²  - 2ab + b² + c²  - 2bc + a² + c² - 2ac)

= -(a + b +c ) ((a - b)² + (b - c)²  (c - a)²)

Δ = 0

=>  -(a + b +c ) ((a - b)² + (b - c)²  (c - a)²)  = 0

=> a + b +c = 0  या  (a - b)² + (b - c)²  (c - a)² = 0

=> a + b +c = 0  या    a = b . b = c , c = a

=>  a + b +c = 0  या    a = b   = c

QED

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