Question

सिद्ध कीजिए कि सारणिक $\begin{bmatrix} x & sinθ & cosθ \\ -sinθ & -x & 1 \\ cosθ & 1 & x \end{bmatrix}$ , θसे स्वतंत्र है।

Answer 1

Given : $\begin{bmatrix} x & sin\theta & cos\theta \\ -sin\theta & -x & 1 \\ cos\theta & 1 & x \end{bmatrix}$

To Find :  सिद्ध कीजिए कि सारणिक  θ से स्वतंत्र है।

Solution:

हमें पता है की यदि

A = $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

Det A = | A |  = a₁₁ ( a₂₂ * a₃₃  - a₃₂ * a₂₃)  - a₁₂ (a₂₁ * a₃₃ - a₃₁ * a₂₃)  + a₁₃ (a₂₁ * a₃₂ - a₃₁ * a₂₂)

A =  $\begin{bmatrix} x & sin\theta & cos\theta \\ -sin\theta & -x & 1 \\ cos\theta & 1 & x \end{bmatrix}$

=> | A |  =  x (-x² - 1) - sinθ(-sinθx - (cosθ(1)) + cosθ(-sinθ  - cosθ(-x))

=> | A |  =  -x³ - x +  sin²θx +  sinθcosθ  - sinθcosθ  +  cos²θx)

=>  | A |  =  -x³ - x +  x(sin²θ +  cos²θ)

=>  | A |  =  -x³ - x +  x(1)

=>  | A |  =  -x³ - x +  x

=>  | A |  =  -x³

θसे स्वतंत्र है।

QED

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