सिद्ध कीजिए कि R त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत विशालतम शंकु का आयतन गोले के आयतन का \frac{8}{27} होता है।
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Given : R त्रिज्या के गोले
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Solution:
सलंग्न आकृति देखो
माना OC = x
शंकु की त्रिज्या r = BC
r² = R² - x²
=> r = √(R² - x²)
शंकु की ऊंचाई h = R + x
गोले का आयतन = (4/3)πR³
शंकु का आयतन V = (1/3)πr²h
V = (1/3) π(R² - x²)(R + x)
V = (1/3) π(R³ + R²x - x²R - x³)
dV/dx = (1/3) π( R² - 2xR - 3x²)
dV/dx = 0
=> (1/3) π( R² - 2xR - 3x²) = 0
=> R² - 2xR - 3x² = 0
=> R² + xR - 3xR - 3x² = 0
=> R(R + x) - 3x(R + x) =0
=> (R - 3x)(R + x) = 0
=> x = R/3 x = - R (संभव नहीं)
d²V/dx² = (1/3) π( - 2R - 6x) < 0
=> x = R/3 V , विशालतम
V = (1/3) π(R² - x²)(R + x)
=> V = (1/3) π(R² - R²/9)(R + R/3)
=> V = (1/3) π(8R²/9)(4R/3)
=> V = (4/3) πR³ (8/27)
(4/3) πR³ = गोले का आयतन
=> V = (8/27) गोले का आयतन
=> विशालतम शंकु का आयतन = (8/27) गोले का आयतन
इति सिद्धम
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