सिद्ध कीजिए कि दिए हुए पृष्ठ और महत्त्म आयतन वाले लम्बवृत्तीय शंकु का अर्द्धशीर्ष कोण sin^{-1} (\frac{1}{3}) होता है।
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Given : लम्बवृत्तीय शंकु पृष्ठ
To find : सिद्ध कीजिए कि आयतन वाले लम्बवृत्तीय शंकु का अर्द्धशीर्ष कोण Sin⁻¹(1/3) होता है।
Solution:
शंकु की पृष्ठ = S
शंकु की त्रिज्या r
शंकु की तिर्यक ऊँचाई L = (S - πr² )/πr
h² = ( (S - πr² )/πr)² - r²
=> h² = (S - πr² )
शंकु की आयतन = (1/3) πr²h
V = (1/3) πr²√ ( (S - πr² )/πr)² - r²)
V = (1/3) √(r²S² - 2Sπr⁴)
V महत्त्म => V² महत्त्म
Z = V² = (1/9)(r²S² - 2Sπr⁴)
dZ/dr = (1/9)(2rS² - 8Sπr³)
dZ/dr = 0
=> (1/9)(2rS² - 8Sπr³) = 0
=> 2rS² - 8Sπr³ = 0
=> 2rS² = 8Sπr³
=> r² = S/4π
d²Z/dr² = (1/9)(2 S² - 24Sπr²)
r² = S/4π
(1/9)(2 S² - 6S²) = -4S²/9 < 0
=> Z महत्त्म => V महत्त्म
r² = S/4π
L = (S - πr² )/πr
L = 3r
=> r/L = 1/3
अर्द्ध शीर्ष कोण = θ
Sinθ = r/l
=> Sinθ = 1/3
=> θ = Sin⁻¹(1/3 )
इति सिद्धम
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