Question

सिद्ध कीजिए कि $3+2\sqrt5$ एक अपरिमेय संख्या है।

Answer 1

सर्वप्रथम हमे यह दिखाना चाहिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है । इसके लिए मान लेते हैं कि 3 + 2√5 एक परिमेय संख्या है ।
तब p तथा q दो ऐसे पूर्णांक होंगे कि
3 + 2√5 = p/q जहाँ q ≠ 0

=> 2√5 = p/q - 3

=> 2√5 = (p - 3q)/q

=> √5 = (p - 3q)/2q ..........(१)

अब चूंकि p तथा q पूर्णांक हैं , इसीलिए (p - 3q) और 2q भी पूर्णांक होंगे ।
चूँकि समीकरण (१) का दायाँ पक्ष एक परिमेय संख्या है किंतु बयाँ पक्ष एक अपरिमेय संख्या है। इस तरह हम एक विरोधाभास तर्क पाते हैं ।
अतः हमारी यह मान्यता बिल्कुल गलत है कि 3 + 2√5 एक परिमेय संख्या है ।
इसीलिए , 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है ।