Question

सिद्ध कीजिए कि वृत्त के परिगत बनी चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।

Answer 1

माना कि ABCD एक चतुर्भुज है जो एक O केन्द्र वाली वृत्त के परिगत बनी हुई है जहाँ चतुर्भुज वृत्त को P, Q, R और S बिन्दुओं पर स्पर्श करती है।

अब चतुर्भुज के सभी बिन्दुओं को वृत्त के केन्द्र से मिलाया गया।
अब Δ OAP और Δ OAS में,

AP = AS [∵ AP और AS एक ही बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं, हम जानते हैं कि एक ही बिंदु से वृत पर की स्पर्श रेखाएँ समान होती है ]

OP = OS [∵ OP और OS एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।]

OA = OA [त्रिभुज के उभयनिष्ठ भुजा है।]

∴ SSS (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता के कसौटी के आधार पर,

Δ OAP ≅ Δ OAS

अत:, ∠ POA = ∠ AOS या, ∠ 1 = ∠ 8

उसी तरह, ∠ 2 = ∠ 3 , ∠ 4 = ∠ 5 और, ∠ 6 = ∠ 7

अब, ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 + ∠ 5 + ∠ 6 + ∠ 8 = 360°

⇒ (∠ 1 + ∠ 8) + (∠ 2 + ∠ 3) + (∠ 4 + ∠ 5) + (∠ 6 + ∠ 7) = 360°

⇒ 2 ∠ 1 + 2 ∠ 2 + 2 ∠ 5 + 2 ∠ 6 = 360°

⇒ 2 (∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 5 + ∠6) = 360°

⇒ (∠ 1 + ∠ 2) + (∠ 5 + ∠ 6) = 180°

⇒ ∠ AOB + ∠ COD = 180°

उसी तरह प्रमाणित किया जा सकता है कि

∠ BOC + ∠ DOA = 180°

अत: किसी वृत्त के परिगत बनी चतुर्भुज की आमने सामने की भुजाएँ केन्द्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।.