Question

4 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखंड BD और DC (जिनमें स्पर्श बिंदु D द्वारा BC विभाजित है) की लंबाइयाँ क्रमशः 8 cm और 6 cm हैं (देखिए आकृति 10.14)। भुजाएँ AB और AC ज्ञात कीजिए।

Answer 1

दिया गया है, CD = 6 cm, और BD = 8 cm

मान लिया कि, वृत्त त्रिभुज की AC भुजा को F बिन्दु पर और AB भुजा को E बिन्दु पर स्पर्श करती है।

अब, बिन्दु C और E को मिलाया गया, फिर बिन्दु B और F को मिलाया गया , उसी तरह बिन्दु A और O को मिलाया गया |

माना कि, AF = m

अब, चूँकि CF और CD वृत्त के बाहर एक ही बिन्दु C से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ है, अत:, CF = CD = 6 cm

उसी प्रकार, BD और BE वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं जो एक ही बिन्दु B से डाली गई हैं, अत:, BE = BD = 8 cm

उसी तरह, AF और AE एक ही बिन्दु A से डाली गई वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं, अत:, AE = AF = m

अब, AB = AE + BE = (m + 8) cm
BC = BD + CD = 8 cm + 6 cm = 14 cm
CA = AF + CF = (m + 6) cm

त्रिभुज का अर्धपरिमाप , S = (m + 8 + m + 6 + 14)/2
= m + 14

अब, त्रिभुज का क्षेत्रफल = √{S(S - a)(S - b)(S - c)}
= √{(m + 14)(m + 14 - m - 8)(m + 14 - m - 6)(m + 14 - 14)}
= √{(m + 14)(6)(8)(m)}

चित्र से, त्रिभुज का क्षेत्रफल = ∆AOB का क्षेत्रफल + ∆BOC का क्षेत्रफल + ∆COA का क्षेत्रफल
= 1/2 × 4cm(m + 8 + 14 + m + 6)
= 2 × (2m + 28)
= 4(m + 14)

√{(m + 14)48(m)} = 4(m + 14)

48m(m + 14) = 16(m + 14)²

3m = m + 14

m = 7 ,

अतः, AB = m + 8 = 15cm
CA = m + 6 = 7 + 6 = 13cm.