Question

सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की : $1+2+3+...+n\ \textless \ \dfrac{1}{8}(2n+1)^{2}$.

Answer 1

माना P(n) : 1 + 2 + 3 + ... + n < 1/8(2n+1)²

n = 1 के लिए

1 < 1/8[2(1) + 1]²

1 < 1/8[3]²

1 < 9/8

अतः P(n), n = 1 के लिए सत्य है |

माना P(n), n = k के लिए सत्य है |

इसलिए,

1 + 2 + 3 + ... + k < 1/8(2k+1)²

k+1 वाँ पद

1 + 2 + 3 + ... + k + k+1 < 1/8(2k+1)² + k+1

1 + 2 + 3 + ... + k + k+1 < 1/8[(2k+1)² + 8(k+1)]

1 + 2 + 3 + ... + k + k+1 < 1/8[4k² + 12k + 9]

1 + 2 + 3 + ... + k + k+1 < 1/8[2k+3]²

1 + 2 + 3 + ... + k + k+1 < 1/8[2(k+1) + 1]²

अतः P(n), n = k+1 के लिए सत्य है |

इस प्रकार P(n), n ∈ N, n के सभी मानों लिए सत्य है |

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