Question

सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए की : $(2n+7)\ \textless \ (n+3)^{2}$

Answer 1

Step-by-step explanation:

दिया गया है P(n):(2n+7)<(n+3)²

n=1 रखने पर

(2×1+7)<(1+3)²

= 9<16

अतः P(1) सही है

अब P(k) कुछ धनात्मक पूर्णाकों के लिए भी सही है जैसे

P(k):(2k+7)< (k+3)²

अब P(k+1) सत्य है तो

P(k+1):(2k+9)<(k+4)²

अब P(k) के वाक्य को देखने पर

(2k+7)<(k+3)²

(k+4)² और (k+3)² का अंतर करने पर

= (k+4)²-(k+3)²

= k²+16+8k-k²-9-6k

=2k+7

दोनों तरफ (2k+7) जोड़ने पर

(2k+7)+(2k+7)<(k+3)² +(2k+7)

=(2k+9)+(2k+5)<(k²+6k+9)+(2k+7)

=(2k+9)+(2k+5)<(k²+8k+16)

=(2k+9)+(2k+5)<(k+4)²

=(2k+9)<(k+4)²

अतः p(k+1) सदैव सत्य होगा जब भी P(k) सत्य होगा

अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा P(n) सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सत्य होगा।