Question

sin ( 1 + tan ) + cos ( 1 + cot ) = sec + cosec

Answer 1

Sin (1 + tan) + cos (1 + cot) = sec + cosec

⇒ LHS = sin (1 + tan) + cos (1 + $\bf\huge\frac{1}{tan}$)

⇒ sin (1 + tan) + cos $\bf\huge\frac{1+tan}{tan}$

⇒ (1 + tan) (sin + $\bf\huge\frac{cos}{tan}$ )

⇒ (1 + tan) $\bf\huge\frac{(sin\times tan+cos)}{tan}$

⇒ $\bf\huge\frac{sin^2}{cos+cos} /tan$

⇒ (1 + tan)(sin^2 + cos^2) ÷ tan × cos

⇒ (1 + tan) ÷ tan × cos

⇒ $\bf\huge\frac{1}{tan}$ × cos ) + $\bf\huge\frac{tan}{tan}$ × cos

⇒ $\bf\huge\frac{cot}{cos} + \frac{1}{cos}$

⇒ cosec + sec

LHS = RHS     Proved

Answer 2

Answer:

sin (1+tan) + cos (1+cot)

= sin + sin*sin/cos + cos + cos*cos/sin         ( as tan = sin/cos and cot = cos /sin)

= ( sin + cos*cos/sin ) + ( cos + sin*sin/cos )

=  (sin*sin+cos*cos)/sin  +   ( cos*cos + sin*sin)/cos

=  1/sin +1/cos                                  ( as sin*sin + cos*cos = 1 )

= cosec + sec                                   ( as 1/sin = cosec and 1/cos = sec )

                                         

                                                                                      Hence Proved.