Question

sin10 sin50 sin60 sin70=m tan20 tan40 tan 60 tan80=n n/m​

Answer 1

$\underline{\textsf{Given:}}$

$\mathsf{m=sin10\,sin50\,sin60\,sin70}$

$\mathsf{n=tan20\,tan40\,tan60\,tan80}$

$\underline{\textsf{To find:}}$

$\textsf{The value of}\,\mathsf{\dfrac{n}{m}}$

$\underline{\textsf{Solution:}}$

$\textsf{Consider,}$

$\mathsf{\dfrac{n}{m}}$

$\mathsf{=\dfrac{sin10\,sin50\,sin60\,sin70}{tan20\,tan40\,tan60\,tan80}}$

$\mathsf{=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}(sin50\,sin10\,sin70)}{\sqrt{3}(tan40\,tan20\,tan80)}}$

$\mathsf{=\dfrac{\dfrac{1}{2}(sin50\,sin10\,sin70)}{tan40\,tan20\,tan80}}$

$\mathsf{=\dfrac{\dfrac{1}{2}\,sin(60-10)\,sin10\,sin(60+10)}{tan(60-20)\,tan20\,tan(60+20)}}$

$\textsf{Using}$

$\boxed{\mathsf{sin(60-A)\,sinA\,sin(60+A)=\dfrac{1}{4}\,sin3A}}$

$\boxed{\mathsf{tan(60-A)\,tanA\,tan(60+A)=tan3A}}$

$\mathsf{=\dfrac{\dfrac{1}{2}{\times}\dfrac{1}{4}\,sin3(10)}{tan3(20)}}$

$\mathsf{=\dfrac{\dfrac{1}{8}\,sin30}{tan60}}$

$\mathsf{=\dfrac{\dfrac{1}{8}\times\dfrac{1}{2}}{\sqrt{3}}}$

$\mathsf{=\dfrac{\dfrac{1}{16}}{\sqrt{3}}}$

$\mathsf{=\dfrac{1}{16\sqrt{3}}}$

$\implies\boxed{\mathsf{\dfrac{n}{m}=\dfrac{1}{16\sqrt{3}}}}$