Question

त्रिभुज की भुजाओं से a और b दूरी पर त्रिभुज के कर्ण पर स्थित एक बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि कर्ण की न्यूनतम लंबाई (a^{\frac{2}{3} +b^{ \frac{2}{3} })^{\frac{3}{2}}

Answer 1

Given : त्रिभुज की भुजाओं से a और b दूरी पर त्रिभुज के कर्ण पर स्थित एक बिंदु है

To find :   सिद्ध कीजिए कि कर्ण की न्यूनतम लंबाई $(a^{\frac{2}{3}} +b^{ \frac{2}{3} })^{\frac{3}{2}}$

Solution:

सलंग्न  आकृति देखो

कर्ण की लंबाई H  = AC = AP + PC

AP = aSecθ

PC = bCosecθ

H = AP + PC

H = aSecθ + bCosecθ

dH/dθ  = aSecθTanθ - bCosecθCotθ

dH/dθ = 0

=> aSecθTanθ - bCosecθCotθ =0

=>  aSecθTanθ = bCosecθCotθ

=> aSin³θ = bCos³θ

=> tan³θ = b/a

=>  tan θ = ∛(b/a)

d²H/dθ²  = aSecθ  + bCosecθ  > 0

=> H  न्यूनतम

tan θ = ∛(b/a)

Sec²θ  = (1 + tan²θ)  = 1 + (∛(b/a))²

=> Sec θ  =  √(1 + (∛(b/a))²)

Cosecθ = √(1 + (∛(a/b))²)

H = aSecθ + bCosecθ

= a√(1 + (∛(b/a))²)  + b√(1 + (∛(a/b))²)

=   $(a^{\frac{2}{3}} +b^{ \frac{2}{3} })^{\frac{3}{2}}$

इति  सिद्धम

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