दीर्घवृत्त \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 के अंतर्गत उस समद्ठिबाहु त्रिभुज का महत्तम क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष दीर्घ अक्ष का एक सिरा है।
Answers
Given : दीर्घवृत्त x²/a² + y²/b² = 1
To find : दीर्घवृत्त के अंतर्गत समद्ठिबाहु त्रिभुज का महत्तम क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष दीर्घ अक्ष का एक सिरा है
Solution:
सलंग्न आकृति देखो
OA = OA' = a
AA' = 2a
A = (a , 0)
ΔPAP' समद्ठिबाहु त्रिभुज
ΔPAP' क्षेत्रफल = (1/2) PP' * AM
M = (h , 0)
P = ( h , -k) P' = ( h , - k)
ΔPAP' क्षेत्रफल = (1/2) 2k (a - h)
A = k( a - h)
h²/a² + k²/b² = 1
=> k² = (a² - h²)b²/a²
=> k = √ (a² - h²)b²/a²
A = (√ (a² - h²)b²/a²) ( a - h)
Z = A²
A = महत्तम => Z = महत्तम
Z = ( a - h)² (a² - h²)b²/a²
Z = (b/a)² ( a - h)² (a² - h²)
dZ/dh = (b/a)² ( 2 ( a - h)(-1) (a² - h²) + ( a - h)²(-2h) )
=> dZ/dh = (b/a)² ( 2( a - h)(-a² + h² - ah + h²) )
=> dZ/dh = (b/a)² 2( a - h)((h -a) (2h + a) )
dZ/dh = 0
=> h = a , h = -a/2
h = a संभव नहीं
h = -a/2 ,
k = √ (a² - a²/4)b²/a² = √3 b /2
ΔPAP' क्षेत्रफल = k (a - h)
= (√3 b /2)(a - (-a/2))
= 3√3 ab /4
समद्ठिबाहु त्रिभुज का महत्तम क्षेत्रफल 3√3 ab /4
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