सिद्ध कीजिए कि एक r त्रिज्या के गोले के अंतर्गत उच्चतम आयतन के लंब वृत्तीय शंकु की
ऊँचाई \frac{4r}{3} है|
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Given : एक r त्रिज्या के गोले
To find : सिद्ध कीजिए कि उच्चतम आयतन के लंब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई 4r/3 है
Solution:
गोले कि त्रिज्या = r
शंकु की ऊँचाई = h
शंकु की त्रिज्या = x
x² = r² - (h - r)²
=> x² = r² - ( h² + r² - 2rh)
=> x² = 2rh - h²
=>
शंकु की आयतन V = (1/3) πx²h
=> V = (1/3) π ( 2rh - h²)h
=> V = (1/3) π ( 2rh² - h³)
dV/dh = (1/3) π ( 4rh - 3h²)
dV/dh = 0
=> (1/3) π ( 4rh - 3h²) = 0
= > 4rh - 3h² =0
=> h(4r - 3h) =0
=> h = 4r/3 , h = 0 संभव नहीं
dV/dh = (1/3) π ( 4rh - 3h²)
d²V/dh² = (1/3) π ( 4r - 6h )
h = 4r/3
=> d²V/dh² = (1/3)π ( 4r - 6*4r/3 )
= (1/3)π (-4r) < 0
=> V उच्चतम
h = 4r/3
इति सिद्धम
एक r त्रिज्या के गोले के अंतर्गत उ उच्चतम आयतन के लंब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई 4r/3 है
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