किसी आयत के ऊपर बने अर्धवृत्त के आकार वाली खिड़की हैे। खिड़की का संपूर्ण परिमाप 10 m है। पूर्णतया खुली खिड़की से अधिकतम प्रकाश आने के लिए खिड़की की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
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Given : किसी आयत के ऊपर बने अर्धवृत्त के आकार वाली खिड़की हैे। खिड़की का संपूर्ण परिमाप 10 m है।
To find : पूर्णतया खुली खिड़की से अधिकतम प्रकाश आने के लिए खिड़की की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
Solution:
सलंग्न आकृति देखो
खिड़की के आयत का आधार = x m
खिड़की के आयत की ऊंचाई = y m
खिड़की के अर्धवृत्त की त्रिज्या = x/2 m
खिड़की का संपूर्ण परिमाप = x + 2y + πx/2 = 10
=> 2x + 4y + πx = 20
=> y = (20 - 2x - πx)/4
अधिकतम प्रकाश आने के लिए अधिकतम क्षेत्रफल
क्षेत्रफल A = xy + (1/2) π(x/2)²
A = x (20 - 2x - πx)/4 + πx²/8
A = ( 40x - 4x² - 2πx² + πx²)/8
=> A = ( 40x - 4x² - πx²)/8
dA/dx = (40 - 8x - 2πx)/8
dA/dx = 0
=> 40 - 8x - 2πx = 0
=> 20 -4x - πx = 0
=> x = 20/(4 + π)
d²A/dx² = ( -8 - 2π)/8 < 0
=> A अधिकतम
x = 20/(4 + π)
y = (20 - 2x - πx)/4
y = ( 20 - (2 + π)20/(4 + π))/4
=> y = 5 ( 4 + π - 2 - π)/(4 + π)
=> y = 10/(4 + π)
खिड़की की विमाएँ = 20/(4 + π) m , 10/(4 + π) m
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