सिद्ध कीजिए कि अर्द्धशीर्ष कोण α और ऊँचाई h के लंब वृत्तीय शंकु के अंतर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई, शंकु के ऊँचाई की एक तिहाई है और बेलन का अधिकतम आयतन \frac{4}{27}πh^{2} tan^{2}α है।
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Given : अर्द्धशीर्ष कोण α और ऊँचाई h के लंब वृत्तीय शंकु के अंतर्गत बेलन
To find : सिद्ध कीजिए कि अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई, शंकु के ऊँचाई की एक तिहाई है और बेलन का अधिकतम आयतन (4/27)πh³Tan²α है।
Solution:
लंब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई = h
Tan α = शंकु की त्रिज्या /h
=> शंकु की त्रिज्या = hTan α
बेलन की त्रिज्या = x
बेलन की ऊँचाई = h - xCotα
बेलन का आयतन V = πx²(h - xCotα)
V = πx²h - πx³Cotα
dV/dx = 2πxh - 3πx²Cotα
dV/dx = 0
=> 2πxh - 3πx²Cotα = 0
=> x = 2h/3Cotα
d²V/dx² = 2πh - 6πxCotα
x = (2h/3)Tanα
d²V/dx² = 2πh - 4πh = -2πh < 0
=> V अधिकतम
=> x = 2h/3Cotα
बेलन की ऊँचाई = h - xCotα = h - (2h/3Cotα)Cotα
= h - 2h/3
= h/3
=> बेलन की ऊँचाई, शंकु के ऊँचाई की एक तिहाई है
V = πx²h - πx³Cotα = π(4h²/9Cot²α )h - (π 8h³/27Cot³α)Cot α
=> V = 4 π h³Tan²α/9 - 8 π h³Tan²α/27
=> V = (12 π h³Tan²α/9 - 8 π h³Tan²α)/27
=> V = 4 π h³Tan²α /27
=> V = (4/27)πh³Tan²α
इति सिद्धम
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